Entropieabhängigkeit von Volumen und Temperatur

Wir können die Entropie eines Systems bei einer beliebigen Temperatur T_E bzw. einem beliebigen Volumen V_E berechnen; Voraussetzung ist, dass die Entropie für eine andere Temperatur T_A bzw. einem anderen Volumen V_A bekannt ist.

Für die Innere Energie gilt dU = dq + dw = dq - pdV. Mit dq = TdS und dU = C_VdT erhalten wir C_VdT = TdS - pdV. Daraus folgt:

oder

Betrachten wir zunächst die Entropieänderung eines idealen Gases (bzgl. einer Volumenänderung) bei konstanter Temperatur (dT = 0):
Für das ideale Gas ist p/T = nR/V und die Entropieänderung ergibt sich zu:

S_E - S_A  =  nR ∫V^-1dV
 

Für die Entropieänderung bei konstantem Volumen erhalten wir bzgl. einer Temperaturänderung allgemein:

Mit Hilfe dieser Beziehungen können wir die Entropie eines Stoffes bei jeder gewünschten Temperatur berechnen, vorausgesetzt, die Wärmekapazität wurde im betrachteten Temperaturbereich experimentell bestimmt.

Insbesondere wollen wir den Fall betrachten, dass das System unter konstantem Druck erwärmt wird. Aus der Definition der Wärmekapazität erhalten wir dann

wenn das System keine Expansionsarbeit verichtet. Folglich ist bei konstantem Druck

Für den Fall, dass C_p bzw. C_V im interessierenden Intervall nicht von der Temperatur abhängen, erhalten wir nach Integration:

 

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