Elektrische Leitfähigkeit - das Ohmsche Gesetz

Der Fluß einer Ladung Q wird als elektrische Stromdichte j bezeichnet und ist proportional zum Gradienten des elektrischen Potentials φ :
 

JQ  =  j  =  - σ/dz

Die Proportionalitätskonstante σ ist die sogenannte spezifische elektrische Leitfähigkeit, mit der Einheit S m-1, wobei für "Siemens" steht: 1S=1A/V=1Ω-1. Im Folgenden nennen wir der Kürze wegen σ die elektrische Leitfähigkeit. Da die elektrische Feldstärke definitionsgemäß E = - /dz ist, erhalten wir
 

j  =  σ E

was identisch mit dem Ohmschen Gesetz ist, nur ist diese Schreibweise ungewohnt. Zum besseren Verständnis stellen wir uns einen Draht der Länge l mit dem Querschnitt A vor, zwischen dessen Enden eine elektrische Spannung U = E · l anliegt. Drücken wir nun die Stromdichte j durch die Stromstärke I = j · A aus, dann erhalten wir

I/A  =  σU/l

Nun berechnen wir den Widerstand des Drahtes (über den spezifischen Widerstand ρ = 1/σ) gemäß R = ρ · l/A = (1/σ).l/A  oder σ = l/RA
Eliminieren von σ/l= 1/R.A in unserer Stromgleichung führt zum Ohmschen Gesetz in der uns schon eher vertrauten Schreibweise.
 

I  =  U/R     oder     R  = U/I

Die Leitfähigkeit σ kann sich abhängig vom Stoff um sehr viele Zehnerpotenzen unterscheiden.
Bei Metallen ist die Leitfähigkeit sehr hoch und dies kann auf frei bewegliche Elektronen zurückgeführt werden. Deshalb wurden auch früher die Elektronen in einem Metall wie ein frei bewegliches Gas behandelt (Drude und Lorentz). Man erhält dann  für die Leitfähigkeit
 

σ  =  ne e2 λ/(2m<ve>)

wobei <ve> die mittlere thermische Geschwindigkeit der Elektronen ist; λ repräsentiert die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Stößen mit den Gitterbausteinen und ne ist die Elektronendichte.

Die sehr hohe Wärmeleitfähigkeit κ von Metallen ist nach dieser einfachen Theorie durch
 

κ  =  6/π nek2T λ / m<ve>

gegeben. Das Verhältnis der Wärmeleitfähigkeit κ und der elektrischen Leitfähigkeit σ,

κ/σ = 12/π(k/e)2 T,

zeigt, dass κ/σ propotional zur Temperatur ansteigt. Außerdem erkennt man, dass im Allgemeinen gute elektrische Leiter auch gute Wärmeleiter sind. Eine detailliertere quantenmechanische Rechnung ergibt das Verhältnis
 

κ/σ = π²/3(k/e)2 T

Danach ergibt sich für κ/σT die material- und temperaturunabhängige Konstante 2,44·10-8 [/], was auch experimentell in guter Näherung bestätigt wird (siehe Tabelle):
 

  Elektrische Leitfähigkeit
σ · 10-5 in Ω-1cm-1
Konstante
κ/σT · 108 in /
Temperatur
in  K
 80 273 373 573   80 273 373 573
Silber 32,50 6,70 4,76 2,97 1,77 2,28 2,36 2,41
Kupfer 43,60 6,45 4,50 2,79 1,56 2,24 2,35 2,37
Gold 20,60 4,90 3,51 2,20 2,03 2,35 2,36 2,42
Aluminium 28,80 4,15 2,86 1,80 1,11 2,03 2,11 2,13
Zink 9,90 2,08 1,47 0,890 1,70 1,90 1,92 1,96
Nickel 9,30 1,65 0,990 0,452 1,68 1,95 2,28 2,43
Platin 4,95 1,02 0,733 0,476 2,00 2,55 2,60 2,75
Blei 2,02 0,532 0,375 0,224 2,33 2,31 2,40 2,62

 

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