Symmetrieoperationen mit Matrizen
Wir können die initiale Position eines Punktes (Atom) durch die Kartesischen Koordinaten von beispielsweise (x,y,z) festlegen, was durch einen Vektor der Form

æ ç è | x | ö ú ø
y
z

erfüllt ist.
Dieser initiale Vektor wird nun durch eine Symmetrieoperation (Matrix) verändert und in einen Endvektor, der allgemeinen Form `(a,b,c)` überführt, wobei x'=a, y'=b, z'=c die Endposition des Punktes (Atoms) ist. In der Matrixalgebra sieht das so aus:

Endvektor = Matrix * Anfangsvektor.

Die einfachste Symmetrieoperation ist die Identität, bei der der Anfangsvektor in sich selbst überführt wird (Endvektor = Anfangsvektor). Um dies zu erreichen, muss die Matrix die Form der Einheitsmatrix haben:

E | = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `1` | ø

Wenn wir eine Spiegelung an der xy-Ebene (horizontale Symmetrieebene σh) vornehmen, dann wird z in -z überführt. Dies gewährleistet die σz-Matrix :

σz | = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø

ì | `x` | ö
ï | `y` | ï
î | `-z` | ø
| = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø
ì | `x` | ö
ï | `y` | ï
î | `z` | ø

Entsprechend sehen die Matrizen für die Reflexion an der yz-Ebene (σx-Matrix)

σx | = |
ì | `-1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `0` | ø

und an der xz-Ebene (σy-Matrix)

σy | = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `-1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `0` | ø

aus.

Die Inversion i überführt einen Punkt von der Position `(x,y,z)` nach `(-x,-y,-z)`. Die entsprechende Matrix lautet:

i | = |
ì | `-1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `-1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø

Man sieht auch sofort, dass die zweimalige Anwendung der Inversion wieder zur Ausgangsposition zurückführt (E = i*i):

i*i = |
ì | `-1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `-1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø
ì | `-1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `-1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø
| = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `1` | ø
| = E

Die Rotationsmatrix um die z-Achse für einen beliebigen Winkel θ kann man sich relativ leicht ableiten, wenn man zwei (x,y)-Koordinatensysteme im gleichen Ursprung zeichnet, die nur um den Winkel θ gegeneinander verdreht sind. Für Cn-Symmetrieoperationen sind nur bestimmte Winkel von θ relevant, nämlich q = 2π/n:

Cn | = |
ì ï ï î | `cos(`2π/n) | `sin(`2π/n) | `0` | ö ï ï ø
`-sin(`2π/n) | `cos(`2π/n) | `0`
`0` | `0` | `1`

Hieraus ergeben sich sofort alle Matrizen für die Symmetrieoperationen C2(z), C3(z), C4(z), C5(z) und C6(z). Die Cnm-Symmetrieoperationen erhält man durch m-fache Multiplikation der Cn-Matrix mit sich.
Die C2-Symmetrieoperationen um die x-Achse (x->x, y->-y, z->-z) und um die y-Achse (x->-x, y->y, z->-z) sind:

C2(x) | = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `-1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø

C2(y) | = |
ì | `-1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø

Die Matrizen für die Drehspiegelung kann man sich nun aus den Matrizen für die Drehung und für die Spiegelung durch Multiplikation ableiten. Für die Sn(z)-Symmetrieoperation erhält man beispielsweise:

Sn(z)=σzCn = |
ì | `1` | `0` | `0` | ö
ï | `0` | `1` | `0` | ï
î | `0` | `0` | `-1` | ø
ì ï ï î | `cos(`2π/n) | `sin(`2π/n) | `0` | ö ï ï ø
`-sin(`2π/n) | `cos(`2π/n) | `0` | =
`0` | `0` | `1`
ì ï ï î | `cos(`2π/n) | `sin(`2π/n) | `0` | ö ï ï ø
`-sin(`2π/n) | `cos(`2π/n) | `0`
`0` | `0` | `-1`