Barometrische Höhenformel

Eine schnelle Anwendung der Bolzmannschen Energieverteilung ist die barometrische Höhenformel. Wir fragen uns, wie groß die Anzahldichte N = N/V von Molekülen im Gravitationsfeld unserer Erde ist, wenn man von einer konstanten Temperatur T (isotherme Atmosphäre) ausgeht?
Die potentielle Energie eines Teilchens im Gravitationsfeld ist E = m · g · h und nach der Boltzmanschen Energieverteilung erhalten wir sofort

N(h) ~ e-mgh/kT

oder

N(h) = N(h=0) e-mgh/kT
p(h) = po e-mgh/kT

mit po = p(h=0).

Der Druck eines Gases hängt danach auch von der Masse der Moleküle ab. Da Stickstoff etwas leichter ist als Sauerstoff, können wir erwarten, dass die relative Konzentration von O2 mit der Höhe zu Gunsten von N2 abnimmt.
Bis zu einer Höhe von ca. 80km ist die Durchmischung der Erdatmosphäre durch Luftströmungen jedoch so stark, dass man von einer homogenen Verteilung ausgehen kann. Man spricht daher gelegentlich von der Homosphäre. In der sich nach oben anschließenden Heterosphäre beginnt die Aufteilung der Gase aufgrund ihrer unterschiedlichen molaren Massen. Mit zunehmender Höhe bleiben schließlich nur noch die leichtesten Gase, Wasserstoff und Helium, übrig.
Jedoch ist auch die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen von ihrer Masse abhängig und dies hat zur Folge, dass Wasserstoff und Helium dem Schwerefeld der Erde entkommen können.

Wir können die barometrische Höhenformel noch etwas umschreiben, damit sie etwas "handlicher" wird:

Wir definieren eine Höhe h0 durch:

m·g·h0/kT = 1

und erhalten so die sehr übersichtliche Höhenformel:

p(h) = p0 e−h/h0

h0 gibt also an, bei welcher Höher der Druck auf 1/e der ursprünglichen Wertes gefallen ist. Für Luft auf der Erde erhalten wir danach (m ≈ 29 g/mol/NA) bei homogener Druckmischung h0 = kT/mg = RT/Mg

h0 = 8,8 km

Wir können natürlich auch eine Höhe h½ definieren, bei der der Druck auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes gefallen ist:

h½ = h0 ln2 ≈ 5,5 km

p(h) = p0 e−ln2·h/h½

denn für h = h½ erhalten wir p(h = h½) = p0 e−ln2 = p0/2.