Hamiltonfunktion

Eine besondere Eleganz in der klassischen Beschreibung von Massenpunkten wurde durch Einführen der Hamiltonfunktion H(p,q) für generalisierte Impulskoordinaten p und Ortskoordinaten q erreicht. Im einfachsten Fall ist die Hamiltonfunktion die Summe aus kineticher und potentieller Energie: H(p,q) = Ekin(p)+V(q). Die Bewegungsgleichungen lauten dann:
 

dq/dt  =  ∂H/∂p

 
dp/dt  =  − ∂H/∂q

Wir wollen dies am Beispiel "Harmonischer Oszillator" erläutern:
Das Potential ist durch V(x) = ½ kx² mit der Kraftkonstanten k und der Auslenkung x gegeben. Die Gesamtenergie E ist dann, E = Ekin + V(x). Da Ekin = ½mv² und p = mv Þ Ekin = /2mÞ  E = /2m + ½ kx². Für eine lineare Auslenkung x gilt für die Ortskoordinate einfach q = x (Beim Pendel, wäre q der Auslenkwinkel) und p ist die Impulskoordinate:
 

H = /2m + ½kx²

Wir erhalten nun für die zeitliche Änderung des Impulses (2. Hamiltonsche Gleichung):

 dp/dt  =  -H/∂x  =  − kx

und für die zeitliche Änderung des Ortes (1. Hamiltonsche Gleichung):

dx/dt  =  ∂H/∂p  =  p/m

Erneutes Ableiten:
d²x/dt²  =  (dp/dt)/m
und Einsetzen für dp/dt:
d²x/dt²  = (dp/dt)/m  = −(k/m)x

Die allgemeine Lösung:  x = A · sin wt  + B · cos wt  mit  w = (k/m)½
Mit den Anfangsbedingungen  x(t=0) = xund  dx/dt  = 0 (am Anfang ist der Osz. in Ruhe, aber max. ausgelenkt)  folgt: 

x = xo · cos w und   p = xo m w · sin wt .

Dies ist die bekannte Schwingungsgleichung.


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