Hamiltonfunktion

Eine besondere Eleganz in der klassischen Beschreibung von Massenpunkten wurde durch Einführen der Hamiltonfunktion H(p,q) für generalisierte Impulskoordinaten p und Ortskoordinaten q erreicht. Im einfachsten Fall ist die Hamiltonfunktion die Summe aus kineticher und potentieller Energie: H(p,q) = E_kin(p)+V(q). Die Bewegungsgleichungen lauten dann:

^dq/_dt = ^∂H/_∂p

^dp/_dt = − ^∂H/_∂q

Wir wollen dies am Beispiel "Harmonischer Oszillator" erläutern:
Das Potential ist durch V(x) = ½ kx² mit der Kraftkonstanten k und der Auslenkung x gegeben. Die Gesamtenergie E ist dann, E = E_kin+ V(x). Da E_kin = ½mv² und p = mv Þ E_kin = ^p²/_2mÞ E = ^p²/_2m + ½ kx². Für eine lineare Auslenkung x gilt für die Ortskoordinate einfach q = x (Beim Pendel, wäre q der Auslenkwinkel) und p ist die Impulskoordinate:

H = ^p²/_2m + ½kx²

Wir erhalten nun für die zeitliche Änderung des Impulses (2. Hamiltonsche Gleichung):

^dp/_dt = -^¶^H/_∂x = − kx

und für die zeitliche Änderung des Ortes (1. Hamiltonsche Gleichung):

^dx/_dt = ^∂H/_∂p = ^p/_m

Erneutes Ableiten: ^d²x/_dt² = ^(dp/dt)/_m und Einsetzen für dp/dt: ^d²x/_dt² = ^(dp/dt)/_m = −(^k/_m)x

Die allgemeine Lösung: x = A · sin wt + B · cos wt mit w = (^k/_m)^½
Mit den Anfangsbedingungen x(t=0) = x_ound ^dx/_dt = 0 (am Anfang ist der Osz. in Ruhe, aber max. ausgelenkt) folgt:

x = x_o · cos wt und p = x_o m w · sin wt .

Dies ist die bekannte Schwingungsgleichung.

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