Eine besondere Eleganz in der klassischen Beschreibung von Massenpunkten
wurde durch Einführen der Hamiltonfunktion H(p,q) für
generalisierte Impulskoordinaten p und Ortskoordinaten q erreicht. Im einfachsten
Fall ist die Hamiltonfunktion die Summe aus kineticher und potentieller
Energie: H(p,q) = Ekin(p)+V(q). Die Bewegungsgleichungen lauten
dann:
dq/dt = ∂H/∂p |
dp/dt = − ∂H/∂q |
Wir wollen dies am Beispiel "Harmonischer Oszillator" erläutern:
Das Potential ist durch V(x) = ½ kx² mit der Kraftkonstanten
k und der Auslenkung x gegeben. Die Gesamtenergie E ist dann, E = Ekin
+
V(x). Da Ekin = ½mv² und p = mv Þ
Ekin = p²/2mÞ
E = p²/2m + ½ kx².
Für eine lineare Auslenkung x gilt für die Ortskoordinate einfach
q = x (Beim Pendel, wäre q der Auslenkwinkel) und p ist die Impulskoordinate:
H = p²/2m + ½kx² |
Wir erhalten nun für die zeitliche Änderung des Impulses (2. Hamiltonsche Gleichung):
dp/dt = - ¶H/∂x = − kx
und für die zeitliche Änderung des Ortes (1. Hamiltonsche Gleichung):
dx/dt = ∂H/∂p = p/m
Die allgemeine Lösung: x = A · sin wt +
B · cos wt
mit w = (k/m)½
Mit den Anfangsbedingungen x(t=0) = xo und dx/dt =
0 (am Anfang ist der Osz. in Ruhe, aber max. ausgelenkt) folgt:
x = xo · cos wt und p = xo m w · sin wt .
Dies ist die bekannte Schwingungsgleichung.
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