Komplexe Zahlen und Funktionen
 
 
Der Zahlenbereich der reellen Zahlen, in desse Rahmen z. B. die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, kann erweitert werden auf die komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl c kann wie ein Vektor als geordnetes Paar (a, b) beschieben werden, wobei a dem Realteil entspricht ((a, 0) ist eine rein reelle Zahl) und b dem Imaginärteil ((0, b) ist eine rein imaginäre Zahl). Dargestellt werden komplexe Zahlen häufig durch
 
c  =  Re c + iIm c  =  a + ib
 
 
Abb. 1: Komplexe Zahlen, dargestellt in der Gaußchen Zahlenebene
Aus Abbildung 1 kann man erkennen, dass c auch durch Angabe der Größen r (= Länge des Ortsvektors zum Punkt P, Betrag der komplexen Zahl c) und des Winkels j eindeutig festgelegt ist. Für die Umrechnung gilt die sog. Eulersche Formel:
 
c  =  a + ib  =  r (cos j + i sin j)  =  r · eij
mit r² = a² + b² und tan j = b/a.
 
Wichtige Rechenregeln:
  1. Addition (Subtraktion analog mit Minuszeichen)
       
    c1 + c2  =  (a1 + a2, b1 + b2)  =  (a1 + a2) + i(b1 + b2)
  2. Multiplikation
         
    c1 · c2  =  r1eij1 − r2eij2  =  (r1 · r2) ei(j1 + j2)
  3. Division
        
    c1/c2  =  r1/r2 ei(j1 − j2)
  4. Potenz
       
    cn  =  rn eijn
  5. Konjugiert komplexe Zahl c*
       
    c*  =  a − ib  =  re−ij
  6. Betrag
       
    Ö(|c|²)  =  Ö(cc*)  =  Ö(reij re−ij)  =  r
  7. Polardarstellung
       
    i  =  eiπ/2     mit     i²  =  −1
Die komplexe Zahlendarstellung wird z.B. angewendet, um Phasenverschiebungen zwischen Wechselströmen und -spannungen (über komplexe Widerstände = Impedenzen) oder zwischen anregendem elektrischen Wechselfeld und induzierter Polarisation (über komplexe Dielektrizitätskonstanten) zu beschreiben. Ganz allgemein wird die komplexe Schreibweise häufig für die Beschreibung periodischer Vorgänge über e-Funktionen verwendet, wobei die Eulersche Formel zur Umrechnung in Real- und Imaginärteil der Amplituden dient.

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