Operatoren

Neben der Wellenfunktion sind in der Quantenmechanik Operatoren von fundamentaler Bedeutung, denn in der Quantenmechanik wird jeder Observablen (d.h. jeder meßbaren Größe, wie.B. Impuls oder Energie) ein Operator zugeordnet.



Ganz allgemein stellt ein Operator eine mathematische Vorschrift dar, die auf die nachfolgende Funktion anzuwenden ist. Beispiele für allgemeine Operatoren sind
x· , sin , exp , /x , , Ö¾


In der Quantenmechanik ist es zum Glück etwas einfacher, denn für die Wellenfunktionen ψ = φ1 + φ2 muss das Superpositionsprinzip gelten und wir brauchen nur lineare Operatoren berücksichtigen. Solche Operatoren erfüllen die Bedingungen
  A12)  =  Aφ1 + Aφ2      A (|1> + |2>)  =  A |1> + A |2> 

und 

A (c · φ)  =  c · Aφ      A (c |f>)  =  c A |f>

Beispiele für lineare und nichtlineare Operatoren:

Bei Anwendung eines Operators A auf eine Funktion f(x) resultiert im allgemeinen eine neue Funktion g(x):

A f(x) = g(x)

So erhält man z.B. durch die Anwendung des Differentialoperators /x auf die Funktion  sin x die neue Funktion  cos x, denn

/x(sin x) = cos x

Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die resultierende Funktion g(x) proportional zur Ausgangsfunktion f(x) ist: g(x) = A f(x), bzw.:

A f(x) = A f(x)

Wir erhalten beispielsweise durch die Anwendung des Differentialoperators /x auf die Funktion eax die Beziehung

 /x(eax ) = a eax

die für eine beliebige Zahl a erfüllt ist, d.h. die Funktion f(x)=eax wird nach Anwendung des Differentialoperators reproduziert bis auf die Konstante a.
Werden an die Funktion noch weitere Bedingungen gestellt, die sogenannte Randbedingungen, dann erfüllen nur noch bestimmte Funktionen Yn die Gleichung A f(x) = A f(x), und man schreibt dafür
 

    Operator · Eigenfunktion  =  Eigenwert · Eigenfunktion 

    A·Yn =  An·Yn

Die Funktionen Yn werden als Eigenfunktionen und die Zahlen An als Eigenwerte des Operators unter den gegebenen Randbedingungen bezeichnet. Ein Ausdruck dieser Art heißt Eigenwertgleichungund hat in der Quantenmechanik eine große Bedeutung, denn das Grundpostulat der Quantenmechanik besagt:
 

   Die Eigenwerte An sind identisch mit den Meßwerten

Da immer Mittelwerte von meßbaren Größen bestimmt (angedeutet durch die Klammern < und >), werden (<A> = òy*AydV), muss <A> reell sein, d.h. <A> = <A>*

ò y*AydV  =  ò y*A*y*dV     oder     A  = A

allgemein:

ò y*AφdV  =  ò fA*y*dV

Dabei bedeutet '†' die Operation der hermitischen Konjungation, d.h. der Übergang vom Integral auf der linken Seite zum Integral auf der rechten Seite

ò y*AφdV  =  ò fA*y*dV

 

Einige quantenmechanische Operatoren:
 
klassisch Operator
p  =  (px, py, pz) p  =  h/i(/∂x,/∂y,/∂z)
E  =  /2m + V H  =  −h²/2mΔ + V
Lx  =  ypz − zpy Lx  =  h/i(y/∂z− z/∂y)
Ly  =  zpx − xpz Ly  =  h/i(z/∂x− x/∂z)
Lz  =  xpy − ypx Lz  =  h/i(x/∂y− y/∂x)

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