Neben der Wellenfunktion sind in der Quantenmechanik Operatoren
von fundamentaler Bedeutung, denn in der Quantenmechanik wird jeder Observablen
(d.h.
jeder meßbaren Größe, wie.B. Impuls oder Energie) ein
Operator zugeordnet.
A (φ1+φ2)
= Aφ1
+ Aφ2
A (|1> + |2>)
= A |1>
+ A |2>
und A (c · φ) = c · Aφ A (c |f>) = c A |f> |
Beispiele für lineare und nichtlineare Operatoren:
Bei Anwendung eines Operators A auf eine Funktion f(x) resultiert im allgemeinen eine neue Funktion g(x):
A f(x) = g(x)
So erhält man z.B. durch die Anwendung des Differentialoperators ∂/∂x auf die Funktion sin x die neue Funktion cos x, denn
∂/∂x(sin x) = cos x
Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die resultierende Funktion g(x) proportional zur Ausgangsfunktion f(x) ist: g(x) = A f(x), bzw.:
A f(x) = A f(x)
Wir erhalten beispielsweise durch die Anwendung des Differentialoperators ∂/∂x auf die Funktion eax die Beziehung
∂/∂x(eax ) = a eax
die für eine beliebige Zahl a erfüllt ist, d.h. die Funktion
f(x)=eax wird nach Anwendung des Differentialoperators
reproduziert bis auf die Konstante a.
Werden an die Funktion noch weitere Bedingungen gestellt, die sogenannte
Randbedingungen, dann erfüllen nur noch bestimmte Funktionen Yn
die Gleichung A f(x) = A
f(x), und man schreibt dafür
Operator · Eigenfunktion
= Eigenwert · Eigenfunktion
A·Yn = An·Yn |
Die Funktionen Yn werden als Eigenfunktionen
und
die Zahlen An als Eigenwerte des Operators unter
den gegebenen Randbedingungen bezeichnet. Ein Ausdruck dieser Art heißt
Eigenwertgleichungund
hat in der Quantenmechanik eine große Bedeutung, denn das
Grundpostulat der Quantenmechanik besagt:
Die Eigenwerte An sind identisch mit den Meßwerten |
Da immer Mittelwerte von meßbaren Größen bestimmt (angedeutet durch die Klammern < und >), werden (<A> = òy*AydV), muss <A> reell sein, d.h. <A> = <A>*
ò y*AydV = ò y*A*y*dV oder A = A†
allgemein:
Dabei bedeutet '†' die Operation der hermitischen Konjungation, d.h. der Übergang vom Integral auf der linken Seite zum Integral auf der rechten Seite
ò y*AφdV = ò fA*y*dV
klassisch | Operator |
p = (px, py, pz) | p = |
E = p²/2m + V | H = − |
Lx = ypz − zpy | Lx = |
Ly = zpx − xpz | Ly = |
Lz = xpy − ypx | Lz = |
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