Die Energieniveaus eines Teilchens im dreidimensionalen Kasten ist durch
E = h²/8ma²(n1² + n2² + n3²) = h²/8ma²· K² = E1 · K²
gegeben. Alle Kombinationen n1, n2 und n3,
die den gleichen Wert für K ergeben, haben die gleiche Energie und
wir sagen dazu, dass das Energieniveau entartet ist.
Der Grad der Entartung, gekennzeichnet durch die Größe g, entspricht
der Zahl von unabhängigen Wellenfunktion, die zur gleichen
Energie führen.
Es soll nun die Anzahl der Energieniveaus innerhalb des schmalen Energiebereichs
dE für ein Teilchen in einem großen Potentialtopf berechnet
werden. Die Anzahl der Zustände N(E) von der Energie Null bis zur
Energie E entspricht dem Volumen einer Kugel vom Radius K (K² = n1²+n2²+n3²)
dividiert durch 8, da nur positive Werte von n1, n2
und n3 erlaubt sind:
N(E) = 1/8(4/3πK3) = π/6 V (8mE/h²)3/2
Das das zweite Gleichheitszeichen ergibt sich, da aus E = h²/8ma²·K² sofort K= a·(8mE/h²)1/2 folgt und a³ durch V = a³ als Volumen des Potentialtopfes ersetzt wird. Die Anzahl der Zustände im Intervall [E, E+dE] erhalten wir durch Differenzierung nach E:
d N(E) = [4πV(2m³)½/h³] E½ dE
 |
Die Dichte der Energieniveaus g(E) = dN/dE,
d.h. die Anzahl der Zustände pro Energieeinheitsintervall, ist dann
| g(E) = 4πV(2m³)½/h³. E½ |
Für die Zustandssumme in der Statistik erhalten wir:
| Q = V/h³ (2πmkT)3/2 |
Damit haben wir eine sehr wichtige Größe, nämlich die Zahl der Zustände der Translation, abgeleitet. Daraus können alle thermodynamischen Größen (hinsichtlich der Translation) berechnet werden.
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