Erwartungswerte:
Mit Hilfe von y können wir den Mittelwert ( in der Quantenmechanik wird der Mittelwert Erwartungswert genannt) einer Messung berechnen; z.B. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich [x, x+ dx] zu finden.
Wie üblich in der Statistik ist der Erwartungswert die Summe über
die einzelnen Meßwerte multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit,
dass dieser betreffende Meßwert gefunden wird.
| <x> | = | Σi | xi | Pi |
| Pi: Wahrscheinlichkeit, dass Meßwert xi vorkommt | ||||
| i: Meßwert xi | ||||
| <x>: Mittelwert der Meßwerte xi | ||||
Ortsmittelwert (eindimensional):
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Bereich x...x+dx zu finden ist
|y(x)|2dx. 
Da
der Ort kontinuierlich variiert, geht die Summe zur Ermittlung des Erwartungswertes
in ein Integral über:
| <x> = -∞∫+∞ x |y(x)|2dx = -∞∫+∞y*(x) x y(x) dx |
y(x) ist als normiert angenommen, d.h. -∞∫+¥ |y|2dx = 1.
Allgemein gilt
Beispiel Teilchen im Kasten: y1(x) = (2/a)½sin(πx/a)
<x> = o∫a(2/a)½sin(πx/a)· x · (2/a)½sin(πx/a)dx = 2/a o∫ax ·sin2(πx/a)dx
<x> = a/2
Impulsmittelwert:
Im Prinzip wird der Impulserwartungswert genauso berechnet, nur müßten wir dazu die Haufigkeitsverteilung |y(p)|2 bzgl. p kennen. Nun kennen wir die Operatordarstellung für den Impuls; d.h. wir können schreiben
<p> =
-∞∫+∞(py(x))y*(x)dx
= -∞∫+¥
h/i(∂/∂xy)·y*dx
| <p>
= -∞∫+¥
y*
·( |
<pn>
= -∞∫+¥
y*
·(h/i.∂/∂x)ny
dx
Erwartungswert der kinetischen Energie (Ekin = p²/2m):
<Ekin>
= -∞∫+¥
y*
(−h²/2mΔ)y
dx
Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²
Beispiel für mittleren Impuls des Teilchens im Kasten: y1(x) = (2/a)½sin(πx/a) ; ¶y1/∂x = π/a(2/a)½cos(πx/a)
<p> =
o∫a(2/a)½
sin(πx/a).h/i.π/a·(2/a)½.cos(πx/a)
= 0
Dieses Ergebnis überrascht zunächst: Wie kann der Impuls eines Teilchens Null sein, das auf einen Ort Δx festgelegt ist und nach der Heisenbergschen Unschärferelation einen Impuls ungleich Null haben muss? Die Antwort ist, dass <p> den mittleren Impuls angibt und nicht den momentanen . Das Teilchen bewegt sich nach links und nach rechts mit gleicher Geschwindigkeit und daher ist im Mittel die Geschwindigkeit (und damit der Impuls) Null. Der Impuls nach rechts hebt genau den nach links auf und umgekehrt. Wir können natürlich auch die mittlere quadratische Abweichung <Dp2> vom mittleren Impuls ausrechnen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, in welchem Bereich die Werte für den Impuls variieren können. Dies sei zur Übung allen Konsumenten angeraten.
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