Grundpostulat der Quantenmechanik

Wir können nun die Zustände bestimmen, für die <DA²> = 0 gilt; also A einen scharfen Wert hat (exakte Messung, z.B. vom Impuls)

ΔA y = 0 (A− A) y = 0

A y = A y

Die Wellenfunktion, die der Gleichung py = py genügt, oder die Wellenfunktion, die der Gleichung Hy = E y genügt, nennt man Eigenfunktion und A (hier p bzw. E) ist der Eigenwert.

Operator · Eigenfunktion = Eigenwert · Eigenfunktion

A ^.y = A · y

z.B. y = e^ax; A = ^d/_dx →^dy/_dx = a a: Eigenwert y: Eigenfunktion

Das Grundpostulat der Quantenmechanik:

Die Eigenwerte A sind identisch mit den Meßwerten

Im allgemeinen hat die Gleichung Ay = Ay nur für ganz bestimmte Werte der physikalischen Größe A Lösungen. Diese bilden entweder einen Satz diskreter Werte A₁, A₂,.... oder eine kontinuierliche Folge von Werten in einem gewissen Intervall. Eine Messung der physikalischen Größe A (z.B. Messung der Energie E) im Zustand y_A1 ergibt exakt den Wert A₁ (z.B. einen bestimmten scharfen Energiewert E₁).

Die Messung einer physikalischen Größe an einem System, das durch die Eigenfunktion charakterisiert ist, liefert einen festen (scharfen) Wert, den Eigenwert. Wiederholen wir diese Messung, so finden wir genau den gleichen Eigenwert (sprich Meßwert). Wir haben das Teilchen in dem Zustand präpariert, der Eigenfunktion zum entsprechenden Operator ist.

kin. Energie Dy = −(^π/_a)²(²/_a)^½ sin(^πx/_a) Δ = ^∂²/_∂x²

<E_kin> = _o∫^a(²/_a)^½ sin(^πx/_a)·(−^h²/_2m) (−(^π/_a)²(²/_a)^½ sin(^πx/_a))dx =

^h²π²/_ma³o∫^a sin²(^πx/_a)dx = ^h²π²/_2ma² = ^h²/_8ma² = E₁

Erwartungswert der gesamten Energie E (allgemein):

<E> = _-¥ò^+∞y* (−^h²/_2mΔ + V(x)) y dx

ê |

kinetische Energie ^¿ + ^èpotentielle Energie

<E> = _-¥ò^+∞y* Hy dx

Vergleichen wir alle eingerahmten Gleichungen, dann erkennen wir die Regel, nach der in der Quantenmechanik Erwartungswerte einer Größe A berechnet werden:

<A> = _-¥ò^+∞y* Ay dV

dV = dx dy dz : Volumenelement

A ist hier der Operator, der der physikalisch beobachtbaren Größe A zugeordnet ist. In der Dirac'schen Schreibweise erhalten wir:

Schauen wir uns nochmal den Erwartungswert der Energie an: <E> = _-¥ò^+∞y*Hydx ; wenn y die Lösung der Schrödingergleichng Hy = Ey ist, dann gilt offenbar: <E> = _-¥ò^+∞y*Hydx = E · òy* ydx = E. D.h. der Erwartungswert ist gleich dem scharfen Energiewert E ! Es gibt also keine Verschmierung bzw. Unsicherheit bzgl. E, da bei der Energiemessung der Energieoperator H den Meßwert als Eigenwert liefert.

Beispiel:

Wir messen bei einem Teilchen den Impuls und erhalten stets den Meßwert p. Das bedeutet, das Teilchen liegt nun in einem Zustand vor, der Eigenfunktion zum Impulsoperator ist. Die Wellenfunktion nach der Impulsmessung lautet dann

y_p = C e^ipx/h

denn die Eigenwertgleichng für Impuls py_p= p y_p ist erfüllt:

^h/_i^∂/_∂x	(C e^ipx/h)	= p ·	(C e^ipx/h)
	y_p		y_p

Messen wir nun die kinetische Energie, so entspricht diese Messung mathematisch der Anwendung des Meßoperators für die kinetische Energie, −^h²/_2m^∂²/_∂x², auf die (vorher präparative) Wellenfunktion y_p:

−^h²/_2m^∂²/_∂x²C e^ipx/h = −^h²/_2m·(^ip/_h)^2. c e^ipx/h = ^p²/_2my_p

Dies ergibt den Eigenwert ^p²/_2m. Das bedeutet, die Welle bleibt als Wellenfunktion y_perhalten. Die Messung der kinetischen Energie macht nicht das Meßergebnis der ersten Messung zunichte. Daher können beide Messungen gleichzeitig mit beliebiger Exaktheit durchgeführt werden.

Wenn y keine Eigenfunktion ist, dann kann ich y zumindest nach den Eigenfunktionen φ_n mit den Koeffizienten a_nentwickeln:

y = Σ_n a_n φ_n

|y> = Σ_n a_n|n>

<A> = <y|A|y> = Σ_m,n a_m* <m|A|n> a_n

= Σ_m,n a_m* a_n· A_n <m|n>

<A> = Σ_n |a_n|² A_n

da <m|n> = δ_m,n

A φ_n = A_n φ_n

<A> = òy*AydV = ò S_m a_m*φ_m*A Σ_na_nφ_ndV

= ò S_m,n a_m*a_nA_nφ_m*φ_ndV

<A> = Σ_n|a_n|² A_n

da φ_m*φ_n = δ_m,n

Σ_n|a_n|²= 1

Gut, aber was sind die Entwicklungskoeffizienten a_n?

Multiplikation von links mit <m| :

<m|ψ> = Σ a_n <m|n>

<m|n> = δ_m,n

<m|ψ> = a_m

∫ φ_m* ψ dV = ∫φ_m* Σ a_n φ_n dV

∫φ_m* ψ dV = Σ_n a_n ∫φ_m* φ_n dV

∫ φ_m* ψ dV = a_m

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<E> = _-¥ò^+∞y*	(−^h²/_2mΔ +	V(x)) y dx
	ê	\|
kinetische Energie	^¿ +	^èpotentielle Energie