Addition von Drehimpulsen

Wenn wir von zwei beliebigen Drehimpulsen 1 und 2 ausgehen (sei es der Bahndrehimpuls und Spin eines Elektrons oder der Bahndrehimpuls zweier Elektronen), dann ist

J1² y  =  j1(j1+1) h² y         und         J2²y  =  j2(j2+1) h² y

J1z y  =  m1 h y         und         J2zy  =  m2 hy


Abb.1.: Vektoraddition der beiden Drehimpuls j1 und j2

Für den Gesamtdrehimpuls 12 muss gelten

J² y  =  J(J+1) h² y        und        Jzy  =  m hy

m = −J, −J + 1, ... J

Welche Werte von J sind nun bei gegebenen J1 und J2 zulässig?

Nach dem nebenstehenden Vektormodell findet man relativ einfach, dass der maximale Gesamtdrehimpuls Jmax durch
 

Jmax  =  j1 + j2

und der minimale Gesamtdrehimpuls Jmin durch
 

Jmin = |j1 − j2

gegeben ist, damit J ganzzahlige Werte annimmt.
 
Abb.2: Zur Addition zweier Drehimpulse 1 und 2 zum Gesamtdrehimpuls . Die Quantenzahlen j1, j2 und j gehorchen der DreiecksUngleichung, wobei sich die erlaubten Werte von j um ganze Zahlen voneinander unterscheiden.

Die Quantenzahl für den Gesamtdrehimpuls J variiert also in Einerschritten von |j1 − j2| rauf bis j1 + j2 :

|j1−j2|, |j1−j2|+1, .......... , j1+j2−1,  j1+j2

Der letzte Wert (j1 + j2) entspricht einer maximal möglichen parallelen Ausrichtung zwischen 1 und 2; der erste Wert einer quantenmechanisch maximal antiparallelen Ausrichtung. Die Gesamtzahl der Zustände ist übrigens gleich:
Zu 1 gibt es 2j1 + 1 mögliche Zustände (die m1). Die Gesamtzahl ist dann (2j1+1)·(2j2+1), denn zu jedem Zustand 1 gibt es (2j2+1) Zustände von 2.

Für jeden Gesamtdrehimpuls J gibt es 2J + 1 Zustände. Zur Abzählung haben wir also zu bilden:

J=|j1−j2| Σj1+j2 (2J + 1)  =  (2j1+1)·(2j2+1)

Wir können unser System also durch den Gesamtdrehimpuls  beschreiben, was natürlich sinnvoller ist, denn nur der Gesamtdrehimpuls ist eine Erhaltungsgröße.
 
 
Abb.3: und  bei der Spin-Bahn-Kopplung zum Gesamtdrehimpuls . Bezüglich einer vorgegebenen z-Richtung ist dieser richtungsquantisiert, während  und , die so um  präzedierend gedacht werden, dass die Dreiecks-Ungleichung erfüllt ist, unbestimmte z-Komponenten haben.

Einfachstes Beispiel für ein p-Elektron mir Spin s = ½ :
  = 1 , s  =  ½  (m =  −1, 0, +1;  ms  =  −½, +½) ;   mögliche j-Werte laufen von |l-s|=½ in Einerschritten hoch bis l+s=3/2, also sind nur  j = ½  und  j = 3/2 möglich. 
m = { −½, +½   für   j = ½
3/2, −½, +½, +3/2   für   j = 3/2


Hier werden kleine Buchstaben für die Quantenzahlen eingesetzt, da wir nur ein Elektron betrachtet haben; der allgemeine Fall - bei dem mehrere Elektronen zum Bahndrehimpuls bzw. Spin beitragen - kennzeichnen große Buchstaben die Quantenzahlen.

Die beiden Orientierungen des Spins ½ relativ zum Bahndrehimpuls l (>0) bewirkt eine Verdopplung der Energieniveaus, als Folge der so genannten Spin-Bahn-Wechselwirkung. Bevor wir uns dieser Wechselwirkung zuwenden, müssen wir noch den Einfluss eines Magnetfeldes auf "unser" Elektron behandeln.

Auf diesem Webangebot gilt die Datenschutzerklärung der TU Braunschweig mit Ausnahme der Abschnitte VI, VII und VIII.