Für den Drehimpuls fanden wir:
L² Yl,m
= h² l(l +1) Yl,m
und LzYl,m
= h m Yl,m
wobei L² der Drehimpulsoperator
zum Quadrat ist und h²l(l +1)
sind die Eigenwerte mit der Eigenfunktion Yl,m.
Die z-Komponente hat die Eigenwerte hm.
Wenn wir nun zum Spin übergehen, dann können wir schreiben:
s² χ
= h² s(s + 1) χ
und szχ
= h msχ
wobei h²s(s + 1) die Eigenwerte für
das Quadrat des Spins und hms die Eigenwerte
für die z-Komponente sind. Wir erhalten für s = ½ die
Eigenwerte ms = ± ½ mit den Eigenfunktionen χ+
(für ms = +½) und c-
(für ms = −½):
s² χ±
= ¾ h²χ±
und szχ±
= ± ½ h χ±
Für den Spin ist die Dirac'sche Schreibweise und die Matrizendarstellung
recht nett und anschaulich:
| χ+ = ( | 1 | ) = |+> | c- = ( | 0 | ) = |-> | |
| 0 | 1 |
| sx = |
0 1 | ) |
| 1 0 | ||
| sy = i |
0 −i | ) |
| i 0 | ||
| sz = |
1 0 | ) |
| 0 −1 |
Leicht zu zeigen durch Einsetzen von |+>
bzw. |-> <+| = (1
0) <-| = (0
1) z.B.
| |+> <-| = ( | 1 0 | ) .( | 0 1 | ) = ( | 0 1 | ) |
| 0 0 | 0 0 | 0 0 |
Natürlich muss man die Matrizenmultiplikation beherrschen
!
| s² = sx²
+ sy² + sz²
= ¾ |
1 0 | ) |
| 0 1 |
| s² |+>
= ¾ |
1 0 | ) ( | 1 | ) = ¾ h² ( | 1 | ) = ¾ |
| 0 1 | 0 | 0 | ||||
| s² |->
= ¾ |
1 0 | ) ( | 0 | ) = ¾ h² ( | 0 | ) = ¾ |
| 0 1 | 1 | 1 | ||||
| sz |+>
= |
1 0 | ) ( | 1 | ) = |
1 | ) = |
| 0 −1 | 0 | 0 | ||||
| sz |->
= |
1 0 | ) ( | 0 | ) = |
0 | ) = − |
| 0 −1 | 1 | −1 |
Gelegentlich wird auch die Notation χms benutzt für ms = +½ und ms = −½.
Die vollständige Wellenfunktion Y eines Elektrons in einem radialsymmetrischen Feld ist dann:
Ynlmlms= Rnl(r) Ylml(J,j) cms
und der Zustand des Elektrons wird durch die vier Quantenzahlen n, l, ml und ms beschrieben.
Der gesamte Drehimpuls 
ist die Summe vom Bahndrehimpuls 
und Eigendrehimpuls (Spin) 
des Elektrons:
| = + |
Wie nun die möglichen Werte von
in der Quantenmechanik aussehen, soll im folgenden beschrieben werden.
Auf diesem Webangebot gilt die Datenschutzerklärung der TU Braunschweig mit Ausnahme der Abschnitte VI, VII und VIII.