Vom C zum Ne

Der Gesamtspin kann 0 oder 1 sein. Der gesamte Bahndrehimpuls kann 0, 1 oder 2 sein, da jedes Elektron den Bahndrehimpuls 1 besitzt. |l₁−l₂| ≤ L ≤ l_l + l₂. Im folgenden wird eine Vorgehensweise erläutert, anhand der die möglichen elektronischen Konfigurationen für mehrere Elektronen mit einem Drehimpuls ungleich 0 ermittelt werden können. Im betrachteten Fall, dem Kohlenstoffatom, haben beide Elektronen die gleiche Quantenzahlen n und l, können sich also nur bezüglich (m_l1, m_s1) und (m_l2,m_s2) unterscheiden.

Tabelle 1 liefert den resultierenden Bahndrehimpuls M_L und den resultierender Spin M_S. Diese Werte gehen aus der Summation der einzelnen Bahndrehimpulse m_l und Spins m_s beider Elektronen hervor.

e^-	1.
2.	m_l		-1		0		+1
		m_s	-½	½	-½	½	-½	½
	-1	-½	X	( -2; 0)	(-1;-1)	(-1; 0)	( 0;-1)	( 0; 0)
	-1	½	s.o.	X	(-1; 0)	(-1; 1)	( 0; 0)	( 0; 1)
	0	-½	s.o.	s.o.	X	( 0; 0)	( 1;-1)	( 1; 0)
	0	½	s.o.	s.o.	s.o.	X	( 1; 0)	( 1; 1)
	+1	-½	s.o.	s.o.	s.o.	s.o.	X	( 2; 0)
	+1	½	s.o.	s.o.	s.o.	s.o.	s.o.	X

Tabelle 1: Ermittlung der möglichen Zahlenpaare (M_L;M_S)

Die erhaltenen Kombinationen (M_L;M_S) stellen Ausprägungen der Atomzustände ^2S+1L _J dar. Die Zuordnung zwischen dem Term ^2S+1L _J und den Zahlenpaaren beginnt beim höchsten Wert für L, hier M_L = 2. Er ist einer Drehimpulsquantenzahl L = 2 beziehungsweise einem D-Term zuzuordnen. Diese Einstellung von M_L tritt nur zusammen mit M_S = 0 d.h. antiparallel ausgerichtetem Elektronenspins, auf. Konkret handelt es sich damit um einen ¹D-Zustand. Ihm zugehörig sind M_L Werte von -2 bis +2. Somit sind (2;0), (1;0), (0;0), (-1;0) und (-2;0) Ausprägungen des ¹D Atomzustandes (vgl. Abbildung 1a). Als nächstkleinerer Wert von M_L wird 1 angetroffen, beispielsweise im Zahlenpaar (M_L;M_S) = (1;1). Dieses Kombination rührt von einem Term mit L = 1 und S = 1, also ³P her, welcher das Zahlenpaar (1;1) und acht weitere Kombinationen einschliesst (vgl. Abbildung 1b). Die beiden bisher identifizierten Zustände repräsentieren 5 + 9 = 14 Kombinationen. Von den 15 aus Tabelle 1 hervorgegangen Kombinationen bleibt damit eine zurück, es handelt sich um (0;0). Sie ist die (einzige mögliche) Ausprägung eines Zustandes mit L = 0 und S = 0 (vgl. Abbildung 1c), das heisst, eines ¹S₀ Atomzustandes.

Abbildung 1a
J=2 S=0 ¹D₂

Abbildung 1b
J=1 S=1 ³P_2,1,0

Abbildung 1c
J=0 S=0 ¹S₀

Wir erhalten demnach für die Zustände des Kohlenstoffatoms die drei Terme ¹S₀, ³P₀, ³P₁, ³P₂ und ¹D₂. Die entsprechenden Termsymbole erscheinen in Tabelle 2.

e^-	1.
2.	m_l		-1		0		+1
		m_s	-½	½	-½	½	-½	½
	-1	-½	X	¹D	³P	³P	³P	¹S
	-1	½	s.o.	X	¹D	³P	³P	³P
	0	-½	s.o.	s.o.	X	¹D	³P	³P
	0	½	s.o.	s.o.	s.o.	X	¹D	³P
	+1	-½	s.o.	s.o.	s.o.	s.o.	X	¹D
	+1	½	s.o.	s.o.	s.o.	s.o.	s.o.	X

Tabelle 2: Die Zuordnung der Zahlenpaare zu Atomzuständen.

Wegen der Hund'schen Regel (1) ist der Grundzustand ein Triplett-Zustand ³P. Die Hund'sche Regel (2) besagt, dass in unserem Fall einer weniger als halb gefüllten L-Schale der Zustand ³P₀ energetisch tiefer liegt als ³P₁ und ³P₂. Er stellt damit den Grundzustand des Kohlenstoffatoms dar.

Die Energien zu den Termen ¹S, ³P und ¹D sowie die der angeregten Zustände des Kohlenstoffatoms sind Abbildung 2 zu entnehmen. Auf der rechten Seite sind die Energieniveaus angegeben, die sich bei Anregung eines 2s-Elektrons ergeben.


Abbildung 2: Energieniveaus beim Kohlenstoffatom.
links: Anregung eines 2p-Elektrons.	rechts: Anregung eines 2s-Elektrons.

Tabelle 3 zufolge gibt es für die p³ die Terme ⁴S, ²P, ²D. Hinzufügen eines 2s-Elektrons ergibt die Terme rechts.

So wie beim C-Atom im Grundzustand, der als Kombination zweier p-Elektronen dargestellt wurde, lassen sich auch die Zustände für andere Nebenquantenzahlen herleiten. Tabelle 3 listet die für verschiedene Belegungen möglichen und mit dem Pauli-Prinzip vereinbaren Terme von Atomen mit Elektronen in s-, p- und d-Orbitalen auf.

Konfiguration	Term		Konfiguration	Term
s s² p, p⁵ p², p⁴ p³	²S ¹S ²P ¹S, ¹D, ³P ⁴S, ²P, ²D		d, d⁹ d², d⁸ d³, d⁷ d⁴, d⁶ d⁵	²D ¹S, ¹D, ¹G, ³P, ³F ²D, ²F, ²G, ²H, ⁴P, ⁴F ¹S, ¹D, ¹F,¹G,¹I,³P,³D,³F,³G,³H,⁵D ²S, ²P, ²D,²F,²G,²H,²I,⁴P,⁴D,⁴F,⁴G,⁶S
Tabelle 3: Atomzustände für verschiedene Belegungen von s, p und d-Atomorbitalen

Nach Hund'scher Regel sollen die Spins möglichst parallel ausgerichtet sein, so dass der Gesamtspin S = ³/₂ wird. Nach der Tabelle oben kommen die drei Terme ⁴S, ²P, ²D für die Kombination der drei p-Elektronen in Frage. Also ist der Gesamtzustand:

Nur scheinbar wird es bei 4 p-Elektronen komplizierter; denn eine andere Betrachtungsweise erlaubt eine deutliche Vereinfachung der Kombination von 4 p-Elektronen:

Wir wissen, dass mit 6 p-Elektronen (p⁶) die Schale gefüllt ist, also L = 0 und S = 0 ist. Wir können uns das Sauerstoffatom nun so vorstellen, als ob 2 Elektronen einer (p⁶)-Schale fehlen würden. Diese fehlenden Elektronen oder Defektelektronen oder auch Löcher werden nun nach den möglichen "Zweiloch-Konfigurationen" arrangiert, denn die Löcher haben ebenfalls den Spin ½. Somit haben wir beim Sauerstoff wie beim Kohlenstoff die möglichen Zustände ¹S, ³P, ¹D. Der höchste Spin (Hundsche Regel (1)) ist S = 1, d.h. der ³P ist Grundzustand und der Gesamtdrehimpuls J ist für den Grundzustand (Hundsche Regel (2)) J = L + S = 2. Also:

J = ½ und ³/₂ sind möglich. Nach Hundscher Regel (2) ist der größere J-Wert für den Grundzustand gültig:

	n	s	p
L	2	Ýß	Ý	Ý
K	1	Ýß		C

	n	s	p
L	2	Ýß	Ý	Ý	Ý
K	1	Ýß		N

	n	s	p
L	2	Ýß	Ýß	Ý	Ý
K	1	Ýß		O

	n	s	p
L	2	Ýß	Ýß	Ýß	Ý
K	1	Ýß		F

	n	s	p
L	2	Ýß	Ýß	Ýß	Ýß
K	1	Ýß		Ne