Übungen zur Vorlesung Physikalische und Theoretische Chemie III
- Aufbau der Materie -

Besprechung am Fr 13.5.2004 10:30 - 11:15 Uhr im SN 20.2

Übungsblatt 4 (Teilchen im Potentialkasten, Orthonormale Funktionen, Schrödingergleichung)

Aufgabe 1

1. Zeigen Sie, dass die zeitunabhängige Funktion y(x,y,z) = exp[i(kxx+kyy+kzz)] eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung, H y(x,y,z) = Ey(x,y,z), für ein freies Teilchen (V(x,y,z)=0) ist, wobei ki die Komponenten des Wellenzahlvektors k sind, für den gilt: k = 2π /λ = 2πp/h; k2 = kx2+ky2+kz2.
2. Wie lautet die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung?

Aufgabe 2

Heisenberg hatte die Idee, dass zunächst eine Ortsmessung und dann eine Impulsmessung, also p· x, etwas anderes liefert als eine Impulsmessung und dann eine Ortsmessung, also x · p. Mit anderen Worten es muss x · p − p · x ¹ 0 gelten. Setzen Sie nun für den Ort und den Impuls die entsprechenden Operatoren ein, also x und (h/i¶/¶x), und berechnen Sie für ein beliebiges y den Ausdruck

x · (h/i¶/¶x)y - h/i¶/¶x (x ·y) = ?

Was Sie erhalten ist ein Maß dafür, wie genau man prinzipiell Ort und Impuls gleichzeitig messen kann.

Aufgabe 3

1. Zeigen Sie, dass die Funktionen y1(x) = C cos(πx/2) und y2(x) = C cos(πx) im Intervall [-1,1] orthogonal sind.
2. Machen Sie aus den orthogonalen Funktionen orthonormale Funktionen, indem Sie die Größe C über die Normalisierungsbedingung oò1|yn|2dx = 1 bestimmen.
3. Sind die Funktionen y1(x) = C·eπx und y2(x) = C·e2px im Intervall [0,1] orthogonal?

Aufgabe 4

Berechnen Sie die energetische Lage der ersten beiden Eigenzustände eines Teilchens im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden (0 ≤ x ≤ a) für a=139pm, wenn es sich um
1) ein Elektron
2) ein Myon handelt (Masse selber herausfinden).
Bei welcher Wellenlänge liegt jeweils der Übergang?