Übungen zur Vorlesung Physikalische und Theoretische Chemie III
- Aufbau der Materie -

Besprechung am Fr 10.6.2005 10:30 - 11:15 Uhr im SN 20.2

Übungsblatt 7 (Wechselwirkungsenergie, LCAO, harmonischer Oszillator)

Aufgabe 1
Bei der Berechnung der Energien für ein System, dass durch zwei "Konfigurationen" |1>, 2> beschreiben wird, sind wir in der Vorlesung davon ausgegangen, dass beide Konfigurationen prinzipiell äquivalent sind, d.h. jeweils durch die gleiche Energie Eo beschrieben werden. Gehen Sie nun entsprechend vor, aber unter der Annahme, dass die Energien unterschiedlich sind, d.h. E1 = <1|H|1> und E2 = <2|H|2> mit E1¹E2 gilt.

a) Zeigen Sie, dass für den Fall geringer Wechselwirkungsenergie (H21 << E1,E2 ) zwischen zwei Zuständen |1> und |2> das energetisch niedrigere Niveau E1 zu tieferen Energien verschoben wird und das energetisch höher liegende Niveau E2 um etwa den gleichen Betrag ΔEw zu höheren Energien verschoben wird.
b) Zeigen Sie, dass für die Koeffizienten a1I und a2I, die das untere Energieniveau EI mit |I> = a1I |1> + a2I |2> beschreiben, gilt:

a1I/a2I = (E1−E2)/H21 | I > = {H21² + (E1−E2)²}−½ · [(E1−E2) | 1 > + H21 | 2 >]

Dabei wurde zur Abkürzung H12 = <1|H|2> und H12=H21 gesetzt.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass für den Kommutator der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gilt: [a+,a-] = -1

Aufgabe 3
Die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand lauten:
Y 0(z) = c0 e−z²/2 und Y 1(z) = c1 z e−z²/2 mit z² = x² (mw/h)½
a) Bestimmen Sie die Konstanten c0 und c1.
Benutzen Sie hierzu : -¥ò+∞e−az²dz = (π/a)½ und -¥ò+∞ z2 e−az²dz = ½ (π/a3)½
b) Charakterisieren Sie die Wellenfunktionen Y0(z) und Y1(z) nach ihrer Parität.
Zur Erinnerung: Unter Parität versteht man das Verhalten einer Größe bei Inversion. Für die eindimensionalen Wellenfunktionen Y0(z) und Y1(z) bedeutet dies das Ersetzen von z durch -z. Die Parität einer Wellenfunktion heißt gerade (g), wenn Yg(-z) = + Yg(z), und ungerade (u), wenn Yu(-z) = − Yu(z).

Aufgabe 4
a) Der Abstand zweier benachbarter Schwingungszustände im HCl-Molekül beträgt 2991 cm-1, wobei 1 cm-1 = 1.986·10-23 J ist. Wie groß ist die Nullpunktsenergie ?
b) Berechnen Sie die maximale relative Geschwindigkeit der Atome im HCl-Molekül im Vibrationszustand v = 0.
Benutzen Sie dazu die reduzierte Masse des HCl-Moleküls mHCl = mHmCl /(mH+mCl) mit mCl = 35 u.
c) Wie groß ist die Kraftkonstante k ?
d) Welche Werte erwarten Sie für die Nullpunktsenergie und den Abstand der Schwingungszustände im DCl-Molekül ?