Übungen zur Vorlesung Physikalische und Theoretische Chemie III
-  Aufbau der Materie  -

Besprechung am Fr 13.5.2004  10:30 - 11:15 Uhr im SN 20.2



  Übungsblatt 4   (Teilchen im Potentialkasten, Orthonormale Funktionen, Schrödingergleichung)
 
 

Aufgabe 1

  1. Zeigen Sie, dass die zeitunabhängige Funktion y(x,y,z) = exp[i(kxx+kyy+kzz)] eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung, Hy(x,y,z) = Ey(x,y,z), für ein freies Teilchen (V(x,y,z)=0) ist, wobei ki die Komponenten des Wellenzahlvektors k sind, für den gilt: k = /λ = 2πp/h;  k2 = kx2+ky2+kz2.
  2. Wie lautet die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung?

 

Aufgabe 2

Heisenberg hatte die Idee, dass zunächst eine Ortsmessung und dann eine Impulsmessung, also p· x, etwas anderes liefert als eine Impulsmessung und dann eine Ortsmessung, also x · p. Mit anderen Worten es muss x · p − p · x ¹ 0 gelten. Setzen Sie nun für den Ort und den Impuls die entsprechenden Operatoren ein, also x und (h/i/x), und berechnen Sie für ein beliebiges y den Ausdruck

x · (h/i/x)y - h/i/x (x ·y)  = ?

Was Sie erhalten ist ein Maß dafür, wie genau man prinzipiell Ort und Impuls gleichzeitig messen kann.


Aufgabe 3

  1. Zeigen Sie, dass die Funktionen y1(x)  =  C cos(πx/2)  und  y2(x)  =  C cos(πx)  im Intervall [-1,1] orthogonal sind.
  2. Machen Sie aus den orthogonalen Funktionen orthonormale Funktionen, indem Sie die Größe C  über die Normalisierungsbedingung oò1|yn|2dx  =  1  bestimmen.
  3. Sind die Funktionen y1(x)  =  C·eπx und y2(x) = C·e2px  im Intervall [0,1] orthogonal?


Aufgabe 4

Berechnen Sie die energetische Lage der ersten beiden Eigenzustände eines Teilchens im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden (0 ≤ x ≤ a) für a=139pm, wenn es sich um
1) ein Elektron 
2) ein Myon handelt (Masse selber herausfinden).
Bei welcher Wellenlänge liegt jeweils der Übergang?