Homework zur Vorlesung Physikalische und Theoretische Chemie III
- Aufbau der Materie -

Besprechung am Fr 3.6.2005 10:30 - 11:15 Uhr im SN 20.2

Übungsblatt 6 (Standardabweichung, Eigenfunktion, Tunneleffekt)

Aufgabe 1

Die Standardabweichung ΔA für eine Größe A ist gegeben durch

ΔA² = <(A − <A>)²> = <A²>- 2<A><A> + <A>² = <A²>-<A>²
ΔA = (<A²>-<A>²)½

Berechnen Sie für den n=2 Eigenzustand eines Teilchens im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden (0 ≤ x ≤ a) mit Y = Ö(2/a)·sin(np x/a) das Produkt Δx · Δp, indem Sie die Erwartungswerte von <x²>, <x>², <p²> und <p>² berechnen. Nutzen Sie hierzu die Lösungen der Übungen 5, Aufgabe 3.

Aufgabe 2

a) Welche der folgenden Funktionen sind Eigenfunktionen zum Operator der kinetischen Energie (T = -h²/2md²/dx²) ?

y = sin wx; y = w4x4 + w²x²; f = e−iwx; F = e−ax²

b) Welche Eigenwerte gehören zu den Eigenfunktionen?

Aufgabe 3

Wie groß ist allgemein die Tunnelwahrscheinlichkeit T für den Fall, dass die Energie E des Teilchens genau der potentiellen Energie V entspricht (E=V)?

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# Aufgabe 4

Beim H2O2 -Molekül stehen die beiden H-Atome nahezu senkrecht zur O-O Bindung und schließen einen Torsionswinkel von 120° ein. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden, mit denen ein H-Atom im vibronischen Grundzustand durch die trans- bzw. durch die cis-Barriere hindurchtunnelt. Die Breite a der Barriere ist die Länge eines Viertel-Vollkreises bei einer OH-Bindungslänge von r = 100 pm, d. h. a = 2r/4 = 157 pm. Die Höhe der trans-Barriere ist Vtrans = 0.029 eV, die Höhe der cis-Barriere ist Vcis = 0.22 eV, die Nullpunktsenergie der Torsionsschwingung ist E0 = 0.02 eV. In beiden Fällen ist die Näherungsformel für die Transmissionswahrscheinlichkeit zulässig.