Besprechung am Fr 13.5.2004  10:30 - 11:15 Uhr im SN 20.2

Aufgabe 1

1. Zeigen Sie, dass die zeitunabhängige Funktion y(x,y,z) = exp[i(k_xx+k_yy+k_zz)] eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung, Hy(x,y,z) = Ey(x,y,z), für ein freies Teilchen (V(x,y,z)=0) ist, wobei k_i die Komponenten des Wellenzahlvektors k sind, für den gilt: k = ^2π /_λ = 2π^p/_h;  k² = k_x²+k_y²+k_z².
2. Wie lautet die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung?

Aufgabe 2

Heisenberg hatte die Idee, dass zunächst eine Ortsmessung und dann eine Impulsmessung, also p· x, etwas anderes liefert als eine Impulsmessung und dann eine Ortsmessung, also x · p. Mit anderen Worten es muss x · p − p · x ¹ 0 gelten. Setzen Sie nun für den Ort und den Impuls die entsprechenden Operatoren ein, also x und (^h/_i^¶/_¶x), und berechnen Sie für ein beliebiges y den Ausdruck

Was Sie erhalten ist ein Maß dafür, wie genau man prinzipiell Ort und Impuls gleichzeitig messen kann.

Aufgabe 3

1. Zeigen Sie, dass die Funktionen y₁(x)  =  C cos(πx/2)  und  y₂(x)  =  C cos(πx)  im Intervall [-1,1] orthogonal sind.
2. Machen Sie aus den orthogonalen Funktionen orthonormale Funktionen, indem Sie die Größe C  über die Normalisierungsbedingung _oò¹|y_n|²dx  =  1  bestimmen.
3. Sind die Funktionen y₁(x)  =  C·e^πx und y₂(x) = C·e^2px  im Intervall [0,1] orthogonal?

Aufgabe 4

Berechnen Sie die energetische Lage der ersten beiden Eigenzustände eines Teilchens im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden (0 ≤ x ≤ a) für a=139pm, wenn es sich um
1) ein Elektron 
2) ein Myon handelt (Masse selber herausfinden).
Bei welcher Wellenlänge liegt jeweils der Übergang?

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