Besprechung am Fr 3.6.2005 10:30 - 11:15
Uhr im SN 20.2
Übungsblatt 6 (Standardabweichung,
Eigenfunktion, Tunneleffekt)
Aufgabe 1
Die Standardabweichung ΔA für eine Größe A ist gegeben durch
ΔA² = <(A
−
<A>)²> = <A²>-
2<A><A>
+ <A>²
= <A²>-<A>²
ΔA = (<A²>-<A>²)½
Berechnen Sie für den n=2 Eigenzustand eines Teilchens
im Potentialkasten mit unendlich hohen Wänden (0 ≤
x ≤ a) mit Y = Ö(2/a)·sin(np
x/a)
das Produkt Δx · Δp,
indem Sie die Erwartungswerte von <x²>,
<x>²,
<p²> und
<p>²
berechnen. Nutzen Sie hierzu die Lösungen der Übungen 5, Aufgabe 3.
Aufgabe 2
a) Welche der folgenden Funktionen sind Eigenfunktionen zum Operator
der kinetischen Energie (T
= -h²/2md²/dx²)
?
y = sin wx; y = w4x4 + w²x²; f = e−iwx; F = e−ax²
b) Welche Eigenwerte gehören zu den Eigenfunktionen?
Aufgabe 3
Wie groß ist allgemein die Tunnelwahrscheinlichkeit T für den Fall, dass die Energie E des Teilchens genau der potentiellen Energie V entspricht (E=V)?
Beim H2O2 -Molekül stehen die beiden H-Atome nahezu senkrecht zur O-O Bindung und schließen einen Torsionswinkel von 120° ein. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden, mit denen ein H-Atom im vibronischen Grundzustand durch die trans- bzw. durch die cis-Barriere hindurchtunnelt. Die Breite a der Barriere ist die Länge eines Viertel-Vollkreises bei einer OH-Bindungslänge von r = 100 pm, d. h. a = 2r/4 = 157 pm. Die Höhe der trans-Barriere ist Vtrans = 0.029 eV, die Höhe der cis-Barriere ist Vcis = 0.22 eV, die Nullpunktsenergie der Torsionsschwingung ist E0 = 0.02 eV. In beiden Fällen ist die Näherungsformel für die Transmissionswahrscheinlichkeit zulässig.
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