Besprechung am Fr 10.6.2005  10:30 - 11:15 Uhr im SN 20.2

Übungsblatt 7   (Wechselwirkungsenergie, LCAO, harmonischer Oszillator)
 

Aufgabe 1
Bei der Berechnung der Energien für ein System, dass durch zwei "Konfigurationen" |1>, 2> beschreiben wird, sind wir in der Vorlesung davon ausgegangen, dass beide Konfigurationen prinzipiell äquivalent sind, d.h. jeweils durch die gleiche Energie E_o beschrieben werden. Gehen Sie nun entsprechend vor, aber unter der Annahme, dass die Energien unterschiedlich sind, d.h. E₁ = <1|H|1> und E₂ = <2|H|2> mit E₁¹E₂ gilt.

a) Zeigen Sie, dass für den Fall geringer Wechselwirkungsenergie (H₂₁ << E₁,E₂ ) zwischen zwei Zuständen |1> und |2> das energetisch niedrigere Niveau E₁ zu tieferen Energien verschoben wird und das energetisch höher liegende Niveau E₂ um etwa den gleichen Betrag ΔE_w zu höheren Energien verschoben wird.
b) Zeigen Sie, dass für die Koeffizienten a₁^I und a₂^I, die das untere Energieniveau E_I mit |I> = a₁^I |1> + a₂^I |2> beschreiben, gilt:

                a₁^I_/a₂^I = (E₁−E₂)_/H₂₁             | I > = {H₂₁² + (E₁−E₂)²}^−½ · [(E₁−E₂) | 1 > + H₂₁ | 2 >]

Dabei wurde zur Abkürzung  H₁₂ = <1|H|2> und H₁₂=H₂₁ gesetzt.

Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass für den Kommutator der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gilt:  [a₊,a_-] = -1

Aufgabe 3
Die Wellenfunktion des harmonischen Oszillators für den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand lauten:
Y₀(z) = c₀ e^−z²/2 und Y₁(z) = c₁ z e^−z²/2 mit z² = x² (mw/h)^½
a) Bestimmen Sie die Konstanten c₀ und c₁.
Benutzen Sie hierzu : _-¥ò^+∞e^−az²dz = (π/a)^½  und _-¥ò^+∞ z² e^−az²dz = ½ (π/a³)^½
b) Charakterisieren Sie die Wellenfunktionen Y₀(z) und Y₁(z) nach ihrer Parität.
Zur Erinnerung: Unter Parität versteht man das Verhalten einer Größe bei Inversion. Für die eindimensionalen Wellenfunktionen Y₀(z) und Y₁(z) bedeutet dies das Ersetzen von z durch -z. Die Parität einer Wellenfunktion heißt gerade (g), wenn Y^g(-z) = + Y^g(z), und ungerade (u), wenn Y^u(-z) = − Y^u(z).
 

Aufgabe 4
a) Der Abstand zweier benachbarter Schwingungszustände im HCl-Molekül beträgt 2991 cm^-1, wobei 1 cm^-1 = 1.986·10^-23 J ist. Wie groß ist die Nullpunktsenergie ?
b) Berechnen Sie die maximale relative Geschwindigkeit der Atome im HCl-Molekül im Vibrationszustand v = 0.
Benutzen Sie dazu die reduzierte Masse des HCl-Moleküls m_HCl = m_Hm_{Cl /}(m_H+m_Cl) mit m_Cl = 35 u.
c) Wie groß ist die Kraftkonstante k ?
d) Welche Werte erwarten Sie für die Nullpunktsenergie und den Abstand der Schwingungszustände im DCl-Molekül ?

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