sp-Hybride:
Zwei neue Wellenfunktionen als Linearkombination der 2s und 2pz Wellenfunktion:
y1 = a1y2s
+ b1 y2pz
y2 = a2y2s
+ b2 y2pz
Abkürzung:
Die beiden neuen Wellenfunktionen sollen orthogonal sein !
<i|k> = δik |
Daraus ergeben sich 3 Gleichungen: <1|1> = 1; <1|2> = <2|1> = 0; <2|> = 1. Ferner sollen die Bindungen gleich stark sein, d.h. der s-Anteil ist gleich für beide Hybride:
ai = a |
Daraus ergibt sich 1 weitere Gleichung (a1 = a2).
Wir erhalten also
<1|1> = a1² | <s|s> | + a1 b1 | <s|z> | + a1 b1 | <z|s> | + b1² | <z|z> |
|¾¯¾|
1 |
|¾¯¾|
0 |
|¾¯¾|
0 |
|¾¯¾|
1 |
<1|1> = a1² + b1² = 1
<2|2> = a2² + b2² = 1
<1|2> = a1a2 + b1b2 = 0
und (ai = a)
a1 = a2 |
a1² + b1² = 1 | —
| ® | — |
b1² = b2² |
a1² + b2² = 1 |
b1 = −b2
Für b1 = +b2 ist |1>º |2>
a1² + b1b2 = 0 → a1 = b1
Einsetzen in a1² + b1² =
1 →
2a1² = 1 →
a1 = 1/Ö2
|2> = 1/Ö2(|s> - |z>) |
sp²-Hybride:
Analog geht man für sp² Hybridisierung vor:
|i> = ai |s> + bi |z> + ci |x> i = 1, 2, 3
Insgesamt müssen 9 Koeffizienten bestimmt werden:
<i|k>
= δik
ai = a i = 1, 2, 3 c1 = 0 |
3 + 3 = 6 Gleichungen (3 für Normierung, 3 für
Orthogonalität)
2 Gleichungen 1 Gleichung (ein Hybrid wird willkürlich entlang der z-Achse gelegt) |
|1> = 1/Ö3(|s> + Ö2 |z>) |
|2> = 1/Ö3(|s> -1/Ö2 |z> + Ö(3/2) |x>) |
|3> = 1/Ö3(|s> -1/Ö2 |z> − Ö(3/2) |x>) |
sp³-Hybride:
Bei der sp³ Hybridisierunglegen wir ein Hybrid entlang der z-Achse, d.h. die entsprechenden Koeffizienten für |x>, |y> sind Null. Ein zweites Hybrid liegt (ebenfalls ohne Verlust an Allgemeinheit) in der x-z-Ebene, d.h. der entsprechende Koeffizient für |y> ist Null.
16 Unbekannte; 4 Gleichungen für Normierung, 6 für Orthogonalität,
3 für ai = a und 3 für räumliche Festlegung (c1
= d1 = d2 = 0)
|1> = ½ |s> + Ö(3/4) |z> |
|2> = ½ |s>-Ö(1/12) |z> + Ö(2/3) |x> |
|3> = ½ |s>-Ö(1/12) |z> − Ö(1/6) |x> + 1/Ö2 |y> |
|4> = ½ |s>-Ö(1/12) |z> − Ö(1/6) |x> − 1/Ö2 |y> |
Eine symmetrische Schreibweise für die vier sp³ Hybride ist
|1> = ½ (|s> + |x> + |y> + |z>) |
|2> = ½ (|s> - |x> − |y> + |z>) |
|3> = ½ (|s> + |x> − |y> - |z>) |
|4> = ½ (|s> - |x> + |y> - |z>) |
Auch hier ist jedes Hybrid normiert und orthogonal zu den anderen, was leicht zu überprüfen ist.