Physikalische und Theoretische Chemie IV
Bearbeitung Fr 18.11.2005 um 12:15, HR 30.1
Übungsblatt 3
Aufgabe 1: Störungstheorie
Ein Elektron befinde sich in einem eindimensionalen Raum mit der Abmessung a = 20 Angström (2 nm). Beschreiben Sie das Elektron mit der Schrödingergleichung. Für die potentielle Energie V soll gelten V = 0 für 0 ≤ x ≤ a und V = ∞ anderswo. Geben sie die Wellenfunktion Ψn an und berechnen Sie die Energieeigenwerte En. Beides geht bei der Bearbeitung des folgenden Problems ein:
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Stören Sie nun das System, indem Sie es in einen geladenen Kondensator einbringen. Der Plattenabstand sei 1 cm und die angelegte Spannung 10 kV. Das elektrische Feld sei parallel zur x-Achse. Der Störungsoperator sei von der einfachen Form H = αx, womit für x = 0 keine Störung vorliegt. Berechnen Sie α. (Sollte Ihnen dies nicht gelingen, fahren Sie einfach mit dem Formelzeichen α fort.
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Nehmen Sie vorab eine Schätzung hinsichtlich der Verschiebung des niedrigsten Energieniveaus vor.
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Berechnen mit Sie nun anhand der Störungstheorie diese Energieverschiebung. Ist es möglich, diese Verschiebung mit spektroskopischen Methoden nachzuweisen? Hinweis: Eine partielle Integration des Matrixelements kann notwendig sein. Alternativ entnehmen Sie den Wert des Integrals einem mathematischen Nachschlagewerk.
Aufgabe 2: Variationsmethode
Stellen Sie sich einen eindimensionalen harmonischen Oszillator vor: V(z) = (k/2)·z2. Natürlich kennen Sie diese Wellenfunktion, aber wir wollen für den Augenblick keinen Gebrauch davon machen. Verwenden Sie die folgenden Näherung für die Grundzustands-Wellenfunktion:
Ψapr = A exp[- λ·z2],
wobei es sich um die Gauss-Funktion mit λ als Parameter handelt.
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Optimieren Sie die Wellenfunktion mit der Variationsmethode. Normalisieren Sie zunächst Ψapr (d.h. bestimmen Sie A so daß -∞∫∞|Ψapr|² dz = 1).
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Welche Energie liegt im Grundzustand vor? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der bekannten exakten Lösung.