- Molekülspektroskopie -
Besprechung am Fr 25.4.2003 um 12:15 Uhr im HR30.1 (Hagenring 30)
Übungsblatt 1
Aufg. 1 - Störungsrechnung
Sperren Sie ein Elektron in einen eindimensionalen, unendlich hohen Potentialkasten von a = 20 Angström (2 nm) Breite ein. Erstellen Sie die Schrödinger-Gleichung innerhalb des Kastens (V = 0 für 0 ≤ x £ a; V = ¥ sonst). Geben Sie die Wellenfunktion Yn und deren Energieeigenwerte En an (ohne Rechnung, schlagen Sie sie nach - sie dienen nur als Referenz für das Folgende).
a) "Stören" Sie das Elektron nun, indem Sie es mitsamt seinem Potentialkasten in einen auf 10 kV aufgeladenen Kondensator mit einem Plattenabstand von 1 cm einbringen (das elektrische Feld soll in x-Richtung zeigen). Der Störoperator hat die einfache Form H' = αx, d. h. die linke Potentialkastengrenze ist geerdet, oder, weniger technisch ausgedrückt, für x = 0 ist die Störung 0. Berechnen Sie α. (Wenn das nicht gelingt, rechnen Sie mit α weiter - das geht auch, ist aber weniger anschaulich).
b) Schätzen Sie zunächst ohne Rechnung ab, welche Energieverschiebung Sie für das niedrigste Niveau erwarten würden.
c) Berechnen Sie nun die Energieverschiebung in 1. Näherung mit Hilfe des Formalismus der Störungsrechnung. Um wieviel ändert sich die Energie des niedrigsten Zustands? Könnten Sie die Verschiebung spektroskopisch beachten? Warum bzw. warum nicht?
Sie stoßen auf das Integral o∫a
x
sin2(nπ x/a)
dx. Das Ergebnis ist a2/4. (Nur für Mathe-Freaks: Das Integral
ist im Bronstein nicht tabelliert. Können Sie es berechnen? Wie?)
Aufg. 2 - Variationsmethode
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator: V(z) = (k/2)·z2. Stellen Sie sich dumm, so als ob Sie die Wellenfunktionen nicht schon kennen würden. Versuchen Sie als Ansatz für die Grundzustandswellenfunktion eine Gaußfunktion mit λals Parameter:
YAnsatz = A exp[- λ·z2]
Optimieren Sie die Wellenfunktion mit Hilfe des Variationsverfahrens. Normieren Sie zuerst die Ansatz-Wellenfunktion (d.h. bestimmen Sie A über -∞ò¥|YAnsatz |² dz = 1, sonst klappt es nicht. Wie hoch ist die Energie des so optimierten Grundzustands? Vergleichen Sie es mit dem exakten Ergebnis.