- Molekülspektroskopie -
Besprechung am Fr 26.4.2002 um 10:30 Uhr im HR30.1 (Hagenring 30)
Übungsblatt 1
Aufg. 1 - Störungsrechnung
Sperren Sie ein Elektron in einen eindimensionalen, unendlich hohen
Potentialkasten von 30 Angström Breite (von 0 bis a) ein. Erstellen
Sie die Schrödinger-Gleichung innerhalb des Kastens (V = 0 für
0 ≤ x £ a;
V = ¥ sonst). Geben Sie die Wellenfunktion
Yn
und
deren Energieeigen-
werte En an (ohne Rechnung, schlagen Sie sie nach - sie
dienen nur als Referenz für das Folgende).
a) "Stören" Sie das Elektron nun, indem Sie es mitsamt seinem Potentialkasten in einen auf 20 kV aufgeladenen Kondensator mit einem Plattenabstand von 1 cm einbringen (das elektrische Feld soll in x-Richtung zeigen). Der Störoperator hat die Form H' = αx, d. h. die linke Potentialkastengrenze ist geerdet, oder, weniger technisch ausgedrückt, die Störung für x = 0 ist 0. Berechnen Sie α. (Wenn das nicht gelingt, rechnen Sie mit α weiter - das geht auch, ist aber weniger anschaulich).
b) Schätzen Sie zunächst ohne Rechnung ab, welche Energieverschiebung Sie für das niedrigste Niveau erwarten würden.
c) Berechnen Sie nun die Energieverschiebung in 1. Näherung mit Hilfe des Formalismus der Störungsrechnung. Um wieviel ändert sich die Energie des niedrigsten Zustands? Könnten Sie die Verschiebung spektroskopisch beachten? Warum bzw. warum nicht?
Sie stoßen auf das Integral o∫a
x
sin2(nπ x/a)
dx. Das Ergebnis ist a2/4. (Nur für Mathe-Freaks: Das Integral
ist im Bronstein nicht tabelliert. Können Sie es berechnen? Wie?)
Aufg. 2 - Variationsmethode
Betrachten Sie den eindimensionalen harmonischen Oszillator: V(z) = (k/2)·z2. Stellen Sie sich dumm, so als ob Sie die Wellenfunktionen nicht schon kennen würden. Versuchen Sie als Ansatz für die Grundzustandswellenfunktion eine Gaußfunktion mit λals Parameter:
YAnsatz = A exp[- λ·z2]
Optimieren Sie die Wellenfunktion mit Hilfe des Variationsverfahrens. Normieren Sie zuerst die Ansatz-Wellenfunktion (d.h. bestimmen Sie A über -∞ò¥|YAnsatz |² dz = 1, sonst klappt es nicht. Wie hoch ist die Energie des so optimierten Grundzustands? Vergleichen Sie es mit dem exakten Ergebnis.