Berechnung von Trägheitsmomenten

Wenn ein sich bewegendes Molekül, in dem ein Punkt festgehalten wird, dann ist der gesamte (klassische) Drehimpuls um diesen Punkt:

J = Σimi (rixvi)

Darin sind ri und vi der Radiusvektor und die Geschwindigkeit des i.-Atoms relativ zu dem gegebenen Punkt. Da ri ein relativ zum Molekül fester Vektor ist, entsteht die Geschwindigkeit vi nur durch die Drehbewegung des starren Körpers um den festen Punkt. Mit  vi = w x ri  erhalten wir:

J = Σimi (rix (w x ri ))

Rechnet man weiter, dann erhält man für die x-Komponente des Drehimpulses:

Jx= wxΣi mi (ri² -xi² ) -  wyΣi mi xiyi - wzΣi mi xizi

Ähnliche Gleichungengelten für die anderen Komponenten von J; (ri² = xi² + yi² + zi²). Wir können nun für die Komponenten des Drehimpulses abkürzend schreiben:

Jx = Ixxw+ Ixy w + Ixzwz
Jy = Iyxw+ Iyy wy + Iyzwz
Jz = Izxw+ Izy w + Izzwz

mit  Ixx = Σi mi (ri² -xi² ),   Ixy = −Si mi xiyi    usw.

Zu den Hauptträgheitsmomenten gelangt man nun, wenn man die sogenannte Hauptachsentransformation durchführt, d.h. man sucht nach den Lösungen für die die Determinante
 
|
Ixx- I  
Ixy 
Ixz
Iyx
Iyy- I  
Iyz
Izx
Izy
Izz-I  
| = 0

verschwindet. Die drei Lösungen für I (Gleichung dritten Grades) sind die Hauptträgheitsmomente IA, IB, IC.