Konstruktion von Hybriden

sp-Hybride:

Zwei neue Wellenfunktionen als Linearkombination der 2s und 2pz Wellenfunktion:

y1  =  a1y2s + b1 y2pz
y2  =  a2y2s + b2 y2pz

Abkürzung:

|i>  =  ai|s> + bi|z>     (i = 1, 2)

Die beiden neuen Wellenfunktionen sollen orthogonal sein !
 

<i|k>  =  δik

Daraus ergeben sich 3 Gleichungen: <1|1> = 1; <1|2> = <2|1> = 0; <2|> = 1. Ferner sollen die Bindungen gleich stark sein, d.h. der s-Anteil ist gleich für beide Hybride:

ai  =  a

Daraus ergibt sich 1 weitere Gleichung (a1 = a2).

Wir erhalten also
 

<1|1>  =  a1² <s|s>  + a1 b1 <s|z>  + a1 b1 <z|s>  + b1²  <z|z>
|¾¯¾|
1		 |¾¯¾|
0		 |¾¯¾|
0		 |¾¯¾|
1

<1|1>  =  a1² + b1²  =  1

<2|2>  =  a2² + b2²  =  1

<1|2>  =  a1a2 + b1b2  =  0

und (ai = a)

a1  =  a2
a1² + b1²  =  1 —
|
     ®
|
—		 b1²  =  b2²
a1² + b2²  =  1

b1  =  −b2

Für b1 = +b2 ist |1>º |2>

a1² + b1b2  =  0 →      a1  =  b1

Einsetzen in   a1² + b1² = 1     →     2a1² = 1     →     a1 = 1/Ö2
 

|1>  =  1/Ö2(|s> + |z>)

|2>  =  1/Ö2(|s> - |z>)

sp²-Hybride:

Analog geht man für sp² Hybridisierung vor:

|i>  =  ai |s> + bi |z> + ci |x>     i = 1, 2, 3

Insgesamt müssen 9 Koeffizienten bestimmt werden:
 

<i|k>  =  δik

ai  =  a     i = 1, 2, 3

c1  =  0

 3 + 3 = 6 Gleichungen (3 für Normierung, 3 für Orthogonalität)

2 Gleichungen

1 Gleichung (ein Hybrid wird willkürlich entlang der z-Achse gelegt)
|1>  = 1/Ö3(|s> + Ö2 |z>) 
|2>  =  1/Ö3(|s> -1/Ö2 |z> + Ö(3/2) |x>) 
|3>  =  1/Ö3(|s> -1/Ö2 |z> − Ö(3/2) |x>) 

sp³-Hybride:

Bei der sp³ Hybridisierunglegen wir ein Hybrid entlang der z-Achse, d.h. die entsprechenden Koeffizienten für |x>, |y> sind Null. Ein zweites Hybrid liegt (ebenfalls ohne Verlust an Allgemeinheit) in der x-z-Ebene, d.h. der entsprechende Koeffizient für |y> ist Null.

16 Unbekannte; 4 Gleichungen für Normierung, 6 für Orthogonalität, 3 für ai = a und 3 für räumliche Festlegung (c1 = d1 = d2 = 0)
 

|1>  =  ½ |s> + Ö(3/4) |z>
|2>  =  ½ |s>-Ö(1/12) |z> + Ö(2/3) |x>
|3>  =  ½ |s>-Ö(1/12) |z> − Ö(1/6) |x> + 1/Ö2 |y>
|4>  =  ½ |s>-Ö(1/12) |z> − Ö(1/6) |x> − 1/Ö2 |y>

Eine symmetrische Schreibweise für die vier sp³ Hybride ist
 

|1>  =  ½ (|s> + |x> + |y> + |z>)
|2>  =  ½ (|s> - |x> − |y> + |z>)
|3>  =  ½ (|s> + |x> − |y> - |z>)
|4>  =  ½ (|s> - |x> + |y> - |z>)

Auch hier ist jedes Hybrid normiert und orthogonal zu den anderen, was leicht zu überprüfen ist.

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