Störungsrechnung

Die Aufgabe der Störungstheorie, wie sie auf Rayleigh und Schrödinger zurückgeht, besteht darin, für einen Hamilton-Operator Hλ, der von einem Parameter λabhängt, die Koeffizienten einer Taylor-Entwicklung von Energie und Wellenfunktion nach Potenzen von λ anzugeben. Dabei kann λ verschiedene physikalische Bedeutungen haben. Wir können z.B. ein Atom in einem äußeren homogenen Feld der elektrischen Feldstärke E betrachten. Suchen wir die Lösung der Schrödingergleichung für beliebige Werte von E, so spielt E die Rolle des Parameters λ.

Wenn der Hamilton-Operator von λ abhängt, werden auch y und die Energie E von λ abhängen.

H(l)y(l)  =  E(l)y(l)

Eine ausgebaute Theorie existiert für den Fall, dass H(l) ein Polynom oder eine Potenzreihe in λ ist:

H(l)  =  H(0) + λ H(1) + λ² H(2) + ...

Oft hat man es mit dem noch spezielleren Fall zu tun, dass das Polynom linear ist:

Hλ  =  H(0) + λ H(1)  =  Ho + λ H'

Man bezeichnet dann Ho als ungestörten Operator und H' als Störoperator.

Es liegt nahe, zu erwarten, dass sich für H' auch die Eigenwerte E(l) und die Eigenfunktion y(l) als Potenzreihe in λ schreiben lassen. Wir erhalten dann für den n-ten Eigenwert:

En(l)  =  En(0) + λ En(1) + (λ² En(2) + ...)

yn(l)yn(0) + lyn(1) + (λ² yn(2) + ...)

Die Koeffizienten yn(k) der Entwicklung von yn nach Potenzen von λ, die sogenannten Störfunktionen k-ter Ordnung, ergeben sich als Lösung von inhomogenen Differentialgleichungen. Diese kann man zwar nur in den seltensten Fällen geschlossen lösen, meist ist aber eine beliebig genaue Näherungslösung möglich, wenn man eine solche inhomogene Diffentialgleichung durch ein äquivalentes Variationsprinzip ersetzt. Die Entwicklung der Störfunktionen nach den Eigenfunktionen des ungestörten Hamilton-Operators findet man im Allgemeinen in Lehrbüchern.

Die Störung erster Ordnung der Energie E(1) erhält man als Erwartungswert des Störoperators 1. Ordnung H', gebildet mit der ungestörten Wellenfunktion yn(0),
 

 En(1)  =  <yn(0)|H'|yn(0)

während die Störung 2. Ordnung der Energie E(2) die Kenntnis von yn(1) voraussetzt:

En(2)  =  <yn(1)|H'|yn(0)>

yn(1) = Σk¹n[(<yk(0)|H'|yn(0)>) / (En(0) - Ek(0))] yk(0)

Die Gesamtwellenfunktion ist dann: ynyn(0) + lyn(1).
 

 En(2)  =  Σk¹n|<yk(0)|H'|yn(0)>|2/ (En(0) - Ek(0))

Schlussbemerkung: Die Gleichung gilt nur für nichtentartete Zustände, da sonst der Nenner Null sein kann.

Auf diesem Webangebot gilt die Datenschutzerklärung der TU Braunschweig mit Ausnahme der Abschnitte VI, VII und VIII.