Man kann den tiefsten Energiezustand auch ohne Lösung der Schrödinger-Gleichung erhalten. Dazu betrachten wir einen beliebigen Hamilton-Operator H mit nicht entarteten Energiewerten En:
Hyn = Enyn n = 0, 1, 2, ...
E0 < E1, E2, E3, ... (E0 ist der energetisch tiefste Zustand)
Jede beliebige (normierte) Wellenfunktion F können wir durch die Eigenfunktionen von Hbeschreiben:
F = ån cnyn mit ån |cn|2 = 1
Der Erwartungswert des H-Operators (also die mittlere Energie) ist dann:
òF*HF
dV
= åm,n
∫cm*ym*HcnyndV
= åm,n ∫En
cm*ym*cnyndV
=
åm,n Encm*cn·δmn
= ån
En|cn|2
³
E0 ån
|cn|2
= E0
| ò F*HFdV ³ E0 |
Das heißt: Jede Wellenfunktion F liefert
einen Energiewert, doch je niedriger dieser Wert ist, um so eher kommt
er auch an den wahre Eigenwert E0 heran. Also gilt (F
muss nicht normiert sein):
| E0 = min òF*HFdV/òF*FdV |
Diese Prinzip kann für praktische Zwecke benutzt werden, indem man eine Wellenfunktion wählt, die noch von reellen Parametern α1, α2, ..., αk abhängt, und dann das Minimum von
EF(α1, α2, ...αk) = J = ∫ F*HFdV/òF*FdV sucht.
Also die Gleichungen ¶EF/¶a1 = 0, ¶EF/¶a2 = 0,... , ¶EF/¶ak = 0, löst.
Durch geschickte Manipulation an der Wellenfunktion kann der Energiewert immer weiter verbessert werden: Höhere Energiewerte sind schlechte Werte, der niedrigste Wert ist der beste Wert!
Die Integrale lassen sich relativ leicht lösen und man erhält:
J = h²α²/8m+
6k/α²
Das Minimum wird gesucht, also: ∂J/¶a = 0,
∂J/¶a
= 0 = h²α/4m−12k/α³
→ αmin4
= 48km/h²
Einsetzen in Gleichung für J →
Emin = 12k/α²
= 12kh/(48km)½
Emin = Ö3
hw
» 1,7
hw
Die exakte Lösung lautet Emin = 1,5 hw
(für x = 0 muss die Wellenfunktion verschwunden sein, für
x > 0 muss sie die Wellenfunktion des harmonischen
Oszillators sein; d.h. nur die ungeraden Lösungen kommen in Frage
und der tiefste Energiewert liegt dann bei E = 3/2hw,
was v=3 beim harmonischen Oszillator entspricht.
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