Der symmetrische Kreisel

Beispiele: CH₃I, C₆H₆, NH₃

Bezeichnen wir mit I_|| die Molekülachse und mit I_⊥ das Trägheitsmoment senkrecht zur Molekülachse, dann ist für I_|| > I_⊥(z.B. Benzol) der Kreisel wie eine Schallplatte (oblate) und für I_||< I_⊥ wie eine Zigarre (prolate CH₃I). Die Energie ist (klassisch) gegeben durch:

Der Übergang zur Quantenmechanik wird erleichtert, wenn wir berücksichtigen, dass wir die Energiewerte bzgl. J² und einer ausgewählten Achse gleichzeitig erhalten. Da

erhalten wir für die Energie:

Ersetzten wir nun das Drehimpulsquadrat J² durch die Eigenwerte des quantenmechanischen Drehimpulsoperators, J² → J(J+1)h² und bezeichnen die Eigenwerte bzgl. der Komponenten auf die Molekülachse mit K (also J_Cψ → Kh ψ, dann erhalten wir die quantenmechanischen Energieniveaus:

K = 0, ±1, ±2, ..., ±J J = 0, 1, 2, ... B = h/(4πcI⊥) A = h /(4πcI||)

Extremfälle der Rotation eines symmetrischen Kreisel
a) um Molekülachse	b) senkrecht zur Molekülachse

Das Vorzeichen von K hat offensichtlich keinen Einfluß auf die Energie, da diese von K² abhängt. Daher sind alle Niveaus zweifach entartet. Da der Drehimpuls aber zusätzlich zu einer äußeren Achse 2J+1 Werte annehmen kann (M_J = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ±J), ist ein Niveau des symmetrischen Kreisels nur 2(2J + 1)-fach entartet. Eine Ausnahme macht K = 0; dieses Niveau ist (2J + 1)-fach entartet. Das Vorzeichen von K gibt eine unterschiedliche Drehrichtung an, die Rotationsenergie ist jedoch unabhängig von der Drehrichtung (was sinnvoll ist, wenn man zwischen rechts und links nicht unterscheiden kann).

Für den einen Extremfall, wenn |K| = J, also J maximal bzgl. der Molekülachse ausgerichtet ist, dann rotiert das Molekül überwiegend um die Molekülachse und die Energieniveaus hängen im wesentlichen von der Rotationskonstante A (resp. I_||) ab:

Für den anderen Extremfall, K = 0, rotiert das Molekül senkrecht zur Molekülachse. Es besitzt daher keinen Drehimpuls in Richtung der Molekülachse. Die Rotationsenergie ist dann:

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