Symmetrieoperationen mit Matrizen
Wir können die initiale Position eines Punktes (Atom) durch die Kartesischen
Koordinaten von beispielsweise (x,y,z) festlegen, was durch einen Vektor
der Form
erfüllt ist.
Dieser initiale Vektor wird nun durch eine Symmetrieoperation (Matrix)
verändert und in einen Endvektor, der allgemeinen Form (a,b,c)
überführt, wobei x'=a, y'=b, z'=c die Endposition des Punktes
(Atoms) ist. In der Matrixalgebra sieht das so aus:
Endvektor = Matrix * Anfangsvektor.
Die einfachste Symmetrieoperation ist die Identität, bei der der
Anfangsvektor in sich selbst überführt wird (Endvektor = Anfangsvektor).
Um dies zu erreichen, muss die Matrix die Form der Einheitsmatrix haben:
| E |
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
1 |
ø |
|
Wenn wir eine Spiegelung an der xy-Ebene (horizontale Symmetrieebene
σh)
vornehmen, dann wird z in -z überführt. Dies gewährleistet
die σz-Matrix :
| σz |
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
|
|
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
|
Entsprechend sehen die Matrizen für die Reflexion an der
yz-Ebene (σx-Matrix)
| σx |
= |
| ì |
-1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
0 |
ø |
|
und an der xz-Ebene (σy-Matrix)
| σy |
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
-1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
0 |
ø |
|
aus.
Die Inversion i überführt einen Punkt von
der Position (x,y,z) nach (-x,-y,-z). Die entsprechende
Matrix lautet:
| i |
= |
| ì |
-1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
-1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
Man sieht auch sofort, dass die zweimalige Anwendung der Inversion
wieder zur Ausgangsposition zurückführt (E = i*i):
| i*i = |
| ì |
-1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
-1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
| ì |
-1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
-1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
1 |
ø |
|
= E |
Die Rotationsmatrix um die z-Achse für einen beliebigen Winkel
θ
kann man sich relativ leicht ableiten, wenn man zwei (x,y)-Koordinatensysteme
im gleichen Ursprung zeichnet, die nur um den Winkel θ
gegeneinander verdreht sind. Für Cn-Symmetrieoperationen
sind nur bestimmte Winkel von θ relevant, nämlich
q
=
2π/n:
| Cn |
= |
ì
ï
ï
î |
cos(2π/n) |
sin(2π/n) |
0 |
ö
ï
ï
ø |
| -sin(2π/n) |
cos(2π/n) |
0 |
|
0
|
0
|
1 |
|
Hieraus ergeben sich sofort alle Matrizen für die Symmetrieoperationen
C2(z),
C3(z), C4(z), C5(z) und C6(z).
Die Cnm-Symmetrieoperationen erhält man
durch m-fache Multiplikation der Cn-Matrix mit sich.
Die C2-Symmetrieoperationen um die x-Achse (x->x,
y->-y, z->-z) und um die y-Achse (x->-x, y->y, z->-z) sind:
| C2(x) |
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
-1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
| C2(y) |
= |
| ì |
-1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
Die Matrizen für die Drehspiegelung kann man sich nun aus den Matrizen
für die Drehung und für die Spiegelung durch Multiplikation ableiten.
Für die Sn(z)-Symmetrieoperation erhält man beispielsweise:
| Sn(z)=σzCn
= |
| ì |
1 |
0 |
0 |
ö |
| ï |
0 |
1 |
0 |
ï |
| î |
0 |
0 |
-1 |
ø |
|
ì
ï
ï
î |
cos(2π/n) |
sin(2π/n) |
0 |
ö
ï
ï
ø |
| -sin(2π/n) |
cos(2π/n) |
0 |
= |
|
0
|
0
|
1 |
|
ì
ï
ï
î |
cos(2π/n) |
sin(2π/n) |
0 |
ö
ï
ï
ø |
| -sin(2π/n) |
cos(2π/n) |
0 |
|
0
|
0
|
-1 |
|
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