Bearbeitung  Fr 18.11.2005 um 12:15,  HR 30.1

Übungsblatt 3
 
 

Aufgabe 1:  Störungstheorie

Ein Elektron befinde sich in einem eindimensionalen Raum mit der Abmessung a = 20 Angström (2 nm). Beschreiben Sie das Elektron mit der Schrödingergleichung. Für die potentielle Energie V soll gelten V = 0 für 0 ≤ x ≤ a und V = ∞ anderswo. Geben sie die Wellenfunktion Ψ_n an und berechnen Sie die Energieeigenwerte E_n. Beides geht bei der Bearbeitung des folgenden Problems ein:
 

1. Stören Sie nun das System, indem Sie es in einen geladenen Kondensator einbringen. Der Plattenabstand sei 1 cm und die angelegte Spannung 10 kV. Das elektrische Feld sei parallel zur x-Achse. Der Störungsoperator sei von der einfachen Form H = αx, womit für x = 0 keine Störung vorliegt. Berechnen Sie α. (Sollte Ihnen dies nicht gelingen, fahren Sie einfach mit dem Formelzeichen α fort.
2. Nehmen Sie vorab eine Schätzung hinsichtlich der Verschiebung des niedrigsten Energieniveaus vor.
3. Berechnen mit Sie nun anhand der Störungstheorie diese Energieverschiebung. Ist es möglich, diese Verschiebung mit spektroskopischen Methoden nachzuweisen? Hinweis: Eine partielle Integration des Matrixelements kann notwendig sein. Alternativ entnehmen Sie den Wert des Integrals einem mathematischen Nachschlagewerk.

Aufgabe 2:  Variationsmethode

Stellen Sie sich einen eindimensionalen harmonischen Oszillator vor: V(z) = (^k/₂)·z². Natürlich kennen Sie diese Wellenfunktion, aber wir wollen für den Augenblick keinen Gebrauch davon machen. Verwenden Sie die folgenden Näherung für die Grundzustands-Wellenfunktion:

wobei es sich um die Gauss-Funktion mit λ als Parameter handelt.

1. Optimieren Sie die Wellenfunktion mit der Variationsmethode. Normalisieren Sie zunächst Ψ_apr (d.h. bestimmen Sie A so daß _-∞∫^∞|Ψ_apr|² dz = 1).
2. Welche Energie liegt im Grundzustand vor? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der bekannten exakten Lösung.

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