Bearbeitung  Fr 25.11.2005 um 12:15,  HR 30.1

Home work 4         H₂⁺-Ion
 
Aufgabe 1:  Wellenfunktion des H₂⁺

Im LCAO-Ansatz wird die Wellenfunktion des H₂⁺-Molelkülions beschrieben als Ψ = N(φ_A± φ_B), wobei φ_A und φ_B Wellenfunktionen für das Wasserstoffatom im Grundzustand darstellen: φ_A=exp(-r_A)/π^1/2,  φ_B= exp(-r_B)/π^1/2 (in atomic units).

1. Bei den Wellenfunktionen φ_Aund φ_B handelt es sich um zwei verschiedene Lösungen der Schrödingergleichung. Im allgemeinen sind diese nicht orthogonal zueinander. Warum?
2. Ermitteln Sie den Normalisierungsfaktor N für die Wellenfunktion Ψ unter Verwendung der in der Vorlesung genannten Normalisierungsbedingung.
3. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten (gerade g, ungerade u) der Wellenfunktionen Ψ bei Inversion I am Mittelpunkt der Kernverbindungslinie R.

Hinweis: Zeichnen Sie das Molekül in ein Koordinatenssystem, dessen Ursprung besagtem Mittelpunkt entspricht und weisen Sie für I nach, daß gilt φ_A = φ_B.

4. Existiert diese Symmetrie für die Wellenfunktionen des HeH⁺²-Molekülions? Warum?

Aufgabe 2:  Integrale, Bindungslängen und Dissoziationsenergie des H₂⁺-Ions

1. Das Überlappungsintegral S für den Grundzustand des H₂⁺ Molekülions kann berechnet werden mit S =e^-R(1 + R + 1/3 R²). Betrachten sie die Grenzfälle  R= 0 und R → ∞.  Zeichnen Sie diese Funktion im Intervall 0 a.u.≤ R ≤10 a.u.
2. Verwenden Sie E_±(R) als Energien für einen bindenden und einen antibindenden Elektronenzustand. Welche Bedeutung hat der Grenzwert von E_± für R → ∞?
3. Betrachten Sie die Potentialkurve des H₂⁺ im Grundzustand. Zeigen Sie in dieser Darstellung die Bindungslänge und die Dissoziationsenergie.

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