Besprechung  Fr 22.05.2009 um 12:15,  PK 11.2

Übung 6.      Das H₂⁺-Ion

 
 

Aufgabe 1:  Wellenfunktion von H₂⁺-Ion

Die Wellenfunktion des H₂⁺-Ions ist in der LCAO Form durch: Y = N(j_A ± j_B) gegeben, wobei j_A und j_B Wellenfunktionen des Wasserstoffgrundzustands sind: j_A= ¹/_p1/2 exp(-r_A),  j_B = ¹/_p1/2 exp(-r_B)  (in atomaren Einheiten).

1. Die Wellenfunktionen j_A und  j_B sind Lösungen der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom, wobei r die Entfernung vom jeweiligen Kern angibt. I.A. sind j_A und  j_B nicht orthogonal zu einander. Warum?
2. Normalisieren Sie die Wellenfunktion Y. Bestimmen Sie den Normalisierungsfactor N, der in der Vorlesung angegeben war.
3. Zeigen Sie welche der beiden Wellenfunktionen Y symmetrisch (g) und welche anti-symmetrisch (u) unter der Symmetrieoperation der Inversion (I) ist (Inversionspunkt der Elektronkoordinaten ist die Mitte zwischen den beiden Kernen).

          Hinweis: Zeichnen Sie die Kerne in gleichem Abstand links und rechts vom Koordinatenursprung (R=0) und zeigen Sie: I j_A = j_{B .}

       d.   Gibt es diese Symmetrie für die Wellenfunktion des HeH⁺² -Ions?  Warum (nicht)?

Aufgabe 2:   Integrale, Bindungslänge und Dissoziationsenergie des H₂⁺-Ions

1. Das Überlappungsintegral S für den Grundzustand des H₂⁺ kann berechnet werden zu:  S = e^–R(1 + R+ ¹/₃ R²). Analysieren Sie die Grenzfälle R=0 und R->unendlich.  Zeichnen Sie die Funktion S von R=0 bis R=10 a.u..
2. E_±(R) soll die Energien des gebundenen und des ungebundenen elektronischen Zustands beschreiben. Was ist die physikalische Bedeutung des asymptotischen Wertes von E_± für R->unendlich?
3. Zeichnen Sie die Potentialkurve des H₂⁺-Grundzustands. Zeigen Sie im Graphen die Bindungslänge und die Dissoziationsenergie.

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