Wir nehmen an, dass die Teilchen unabhängig voneinander sind, d.h. es gilt analog zur Herleitung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung:
Nur die Exponentialfunktion erfüllt diese Gleichung, was nun gezeigt werden soll:
∂P/∂E1 = (dP/dE1) · p(E2) = (dP/dE) · (dE/dE1) = dP/dE
(da dE/dE1 = 1)
Entsprechend erhält man durch Differenzieren nach E2
(1/P(E))·(dP/dE) = (1/p(E2))·(dp/dE2)
Da die jeweils rechte Seite der beiden obigen Gleichungen nur von E1 bzw. E2 abhängt, muss gelten
1/p(E1) · (dp/dE1) = β = 1/P(E2) · (dp/dE2),
wobei β eine Konstante ist. Dies führt auf die Gleichung
dP/P = β· dE
ln P = βE + c oder P ~ eβE
Die Konstante β = -1/kT
kennen wir bereits aus der kinetischen Gastheorie. Damit kennen wir P(E).
Und weiter geht's.....