Der Fluss von Materie, Energie, Impuls

Unter Transport verstehen wir die Verlagerung von "Transportgütern" von einem Ort zu einem anderen. Ein solches Transportgut können Teilchen sein, die z.B. durch ein kleines Loch ausströmen; oder es sind Teilchen, die durch ein Gas, eine Flüssigkeit oder einen Festkörper diffundieren; oder es wird Energie in Form von Wärme entlang eines Temperaturgradienten transportiert, oder Ladungen werden entlang eines Potentialgradienten transportiert; oder es kann auch Impuls transportiert werden, was zu einer "inneren Reibung" oder Viskosität von Gasen und Flüssigkeiten führt.

Wir werden zunächst Nichtgleichgewichtszustände betrachten, d.h. solche Zustände, bei denen ein System stets dieselben Nichtgleichgewichtslage aufrechterhalten wird. Wir erreichen dies, indem wir, wie in der Abbildung dargestellt, kontinuierlich von einem Reservoir (1) das zu transportierende Gut schließlich in ein Reservoir (2) überführen.
 

Reservoir (1)  System Reservoir (2)
Transportrichtung
 →

Eine charakteristische Größe für den Transport eines "Transportgutes" G ist der Fluss JG. Wir verstehen darunter die Menge des Gutes G, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit transportiert wird.

JG  =  Gut /Fläche . Zeit

Je nach Art des Transports sprechen wir von Teilchen-, Masse-, Energie- oder Ladungsfluss
 

Teilchenfluss;

Wir betrachten zunächst ein Gas bei der Temperatur T und einem Druck p, das über ein sehr kleines Loch der Fläche A ins Vakuum entweichen kann, d.h. es findet ein Fluß von Teilchen N statt.

Der Fluss ist dann JN  =  N/AΔt, wobei nur Teilchen die Chance haben das Loch innerhalb Δt zu erreichen, wenn sie sich im Abstand Δx vom Loch befinden, bzw. sich im Volumen V = A · Δx aufhalten. Der Teilchenfluss ist dann:

JN  =  (N/V).(Δx/Δt)




Wenn wir nun zu infinitesimalen Größen übergehen, erhalten wir JN = (N/V) vx. Nun haben nicht alle Teilchen die gleiche Geschwindigkeit in x-Richtung (siehe Maxwell-Boltzmann-Verteilung), d.h. wir müssen deren Geschwindigkeitsverteilung f(vx) berücksichtigen:

JN  =  o∫∞(N/V) vx f(vx) dvx

 

JN  =  (N/V)·(kT/2pm)½  =  ¼ · <v> N/V

Mit  N/V = p/kT erhalten wir
 

JN  =  p/(2pmkT)½

Da der Fluss umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Molekülmasse ist, kann diese Beziehung genutzt werden, um Isotope zu trennen. Es kann damit auch der Dampfdruck von Flüssigkeiten und Festkörpern bestimmt werden (Knudsen-Methode).

Diese Effusion eines Gases aus einem Behältnis in das Vakuum ist ein einfaches Beispiel für Transportprozesse, da die Teilchen, die den Behälter verlassen haben, nicht zurückkehren können. Im Allgemeinen haben wir jedoch keine klare Abtrennung zwischen Gefäß (d.h. hohe Konzentration von Teilchen) und Vakuum (keine Teilchen) sondern einen kontinuierlichen Übergang (beispielsweise ein Konzentrationsgefälle oder eine sich stetig ändernde Temperatur). Auch können Moleküle, die sich in eine Richtung bewegen wieder an ihren Ausgangsort zurückkehren.

Experimentelle Beobachtungen zeigen, dass der Fluss solcher Größen in vielen Fällen proportional dem Gradienten einer verwandten Größe in dem gegebenen System ist. So ist z.B. die Diffusionsgeschwindigkeit, d.h. der Materiefluss parallel zur z-Achse, proportional dem Konzentrationsgradienten in Richtung der z-Achse: JMaterie ~ dc/dz, während der Energiefluss bei der Wärmeleitung proportional dem Temperaturgradienten JEnergie ~ dT/dz ist.

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