Wärmeleitfähigkeit

Der Transport von Energie in Form von Wärme geschieht durch thermische Bewegung gegen einen Temperaturgradienten, dT/dz, von Orten mit höherer Temperatur zu Orten mit niedrigerer Temperatur. Der Wärme- oder Energiefluss ist dann durch
 

JEnergie  =  −κdT/dz

gegeben, wobei κ der Wärmeleitfähigkeitskoeffizient ist, der trotz des gleichen Buchstabens nichts mit der Kompressibilität zu tun hat. Gelegentlich wird dieser Wärmeleitfähigkeitskoeffizient auch durch den Buchstaben λ gekennzeichnet (das negative Vorzeichen wurde gewählt, damit J und κ positiv sind, denn dT/dz ist negativ, da die Temperatur längs des Weges z abnimmt). Da dies aber sehr schnell zu Verwechslungen mit der freien Weglänge führt, soll hier nur κ verwendet werden.

Für ideale Gase ist es mit Hilfe der kinetischen Gastheorie möglich, den Diffusionskoeffizienten zu berechnen. Nun haben wir bereits für den sehr vereinfachten Fall der Effusion gesehen, dass wir die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen berücksichtigen müssen, denn es genügt nicht, nur mittlere Größen einzusetzen.

Es sollen daher im Folgenden die Ergebnisse einer einfachen Betrachtungsweise, die sich auf mittlere Größen bezieht, und einer komplexen Rechnung wiedergegeben werden. Selbst diese komplexere Rechnung stellt nur eine erste Näherung dar. Details hierzu finden sich in B.L. Earl, J. Chem. Ed. 66 (1989) 147.
 
 

  einfache Rechnung komplexere Rechnung Dimension
κ 1/3 CV,m λ <v>n/V  = 
2/3 CV,m (kT/πm)½ /(NAπd2)
(25π/64) CV,m λ <v>n/V  = 
(25π/32) CV,m (kT/πm)½ /(NAπd2)
J · K-1m-1s-1

CV,m ist die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

Da λ umgekehrt proportional zum Druck des Gases und damit auch zu seiner molaren Konzentration ist (n hingegen mit dem Druck zunimmt), ist κdruckunabhängig. Der physikalische Grund hierfür ist, dass die Wärmeleitfähigkeit zwar groß sein sollte, wenn viele Moleküle vorhanden sind, die die Energie transportieren können, dass aber andererseits die mittlere freie Weglänge durch das Vorhandensein vieler Moleküle kleiner wird, so dass die Moleküle die Energie nicht weit transportieren können.

Experimentell wird diese Druckunabhängigkeit bestätigt. Aber bei sehr kleinen Drücken ist κ ~ p, da in diesem Fall die mittlere freie Weglänge größer wird als die charakteristischen Abmessungen eines  Meßsystems, so dass die Strecke, über welche die Energie transportiert wird, von der Größe des Meßsystems abhängt und nicht von der Zahl der vorhandenen Moleküle. Der Fluss ist in dieser Situation nur noch proportional zur Anzahl der Energieträger, d.h. zur Zahl der Teilchen, daher gilt κ ~ n ~ p.

Dies wird genutzt, um den Druck mit Hilfe von Wärmeleitfähigkeitsmanometern zu messen (typischer Einsatzbereich: 0,1 - 1000 Pa).
 

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