Produktregeln

Die Produktregeln sind äußerst wichtig für die Bestimmung des Termsymbols, also die Gesamtelektronenkonfiguration, und für die Bestimmung der Lage des Dipolmomentes. Die Rechenregeln gehen darauf zurück, dass man für nichtentartete Rassen eine direkte Multiplikation ohne Einschränkungen durchführen kann. Wir wollen uns mit den Regeln am Beispiel der Gruppe C2v
 

C2v , 2mm 
E 
C 2 
σv(xz)
σ'v(yz)
h = 4
 
A1
1
1
1
1
 z, z2, x2, y2
 
A2
1
1
-1
-1
 xy
Rz
B1
1
-1
1
-1
x, xz
Ry
B2
1
-1
-1
1
y, yz
Rx

vertraut machen. Für die Multiplikation A2 und B1 brauchen wir nur die entsprechenden beiden Zeilen betrachten und die jeweiligen Zellen miteinander multiplizieren:
 

C2v E C2 σv(xz) σ'v(yz)
A2 1 1 -1 -1
B1 1 -1 1 -1
A2 x B1 1 -1 -1 1

Daraus folgt, dass das Produkt der Rassen A2 und B1 die Symmetrierasse B2 besitzt, was sich sofort durch Vergleich mit der obigen Charaktertafel für die Gruppe C2v ergibt. Die direkten Produkte der einzelnen Produktgruppen kann man tabellieren (s. z.B. Herzberg, Bd. III), indem man für jede Gruppe eine Multiplikationstabelle aufstellt, bei der der Tabellenwert das Produkt aus dem Zeilen- mit dem Spaltenwert darstellt:
 

C2v A1 A2 B1 B2
A1 A1 A2 B1 B2
A2 A2 A1 B2 B1
B1 B1 B2 A1 A2
B2 B2 B1 A2 A1

Man sieht, dass

A1 x A1  =  A1
B1 x B1  =  A1....,
d.h. das Quadrat einer nichtentarteten Rasse ist totalsymmetrisch.
B1 x A1  =  B1
B2 x A1  =  B2....,
d.h. bei Multiplikation mit der totalsymmetrischen Rasse bleibt die ursprüngliche Spezies erhalten.

Die Rechenregeln für nichtentartete Rassen sind recht einprägsam, wenn man die Symbole A,',g mit + und B,",u mit - identifiziert, denn dann entsprechen die Regeln gerade den algebraischen Vorzeichenregeln  (+*+ = +, +*- = - und -*- = +):
 

i: g x g  =  g u x u  =  g g x u  =  u x g  =  u
σh: (') x (')  =  (')  ('') x ('')  =  (')  (') x ('')  =  ('')
Cp: A x A  =  A B x B  =  A A x B  =  B x A  =  B
C2: 1 x 1  =  1 2 x 2  =  1 1 x 2  =  2 x 1  =  2
Ausnahme:
 
D2h: 1 x 2  =  3 2 x 3  =  1 3 x 1  =  2 cyclische Vertauschung; 
Beispiel: B2g x B3u = B1u

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