Die Vorstellung war, dass Oszillatoren das Licht abstrahlen. Ein Oszillator hat bei der Temperatur T im Mittel die Energie <E> = kT. Die Energiedichte der Strahlung, u(ν)dν, ist im Frequenzintervall [ν, ν+dν] gleich der Anzahl der Oszillatoren pro Volumeneinheit in diesem Bereich, dN(ν), multipliziert mit kT:
u(ν)dν = <E> dN(ν) = kT dN(ν)
| u(ν)dν = Strahlungsenergie im Bereich [ν,ν+dn]/Volumen |
dN(ν) wurde von Rayleigh
und Jeans
berechnet: dN(ν) = 8pn²/c³
dν
| u(ν) = 8pn²/c³ kT | Im IR ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz
experimentell bestätigt ! |
1900 machte Max Planck die zur damaligen Zeit völlig willkürliche Annahme, dass die Energie nicht kontinuierlich sondern in kleinen Portionen (Energie-Quanten) abgestrahlt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Normalschwingung die Energie nhν hat, ist dann (Boltzmannverteilung):
Wn = e-nhν/kT/Q
Die Größe Q (Zustandssumme) dient der Normierung der Wahrscheinlichkeit auf Eins:
S¥n=0 Wn = 1/Q S¥n=0 (e−hν/kT)n = 1/Q .1/1 − e−hν/kT = 1
wobei die Summation über geometrische Reihe ausgeführt wurde. Wir erhalten:
1/Q = 1 − e−hν/kT
Die mittlere Energie <E> ist dann
<E> = Σ Wn nhν = (1 − e−hν/kT) Σ nhν e−nhν/kT = (1 − e−hν/kT) Σ-d/d(1/kT) e-nhν/kT =
- (1 - e−hν/kT) d/d(1/kT)Σ e−nhν/kT = − (1 − e−hν/kT) d/d(1(kT) 1/1 − e−hν/kT = hν e−hν/kT/(1 − e−hν/kT)
<E> = hν/e+hν/kT− 1
Es fehlt noch die Zahl der Freiheitsgrade, die nach Rayleigh-Jeans erhalten werden: U(ν) dν = <E> dN = 8pn²/c²<E> dν
Für die spektrale Energiedichte u(ν)dν
= <E> ·
dN(ν) im Frequenzintervall [ν,
ν+dν]
erhält man dann:
| <E> | dN | |
| u(ν)dν = |
|
|
was zur Planckschen Strahlungsformel
| u(ν) = 8πhν³/c³.1/ehν/kT− 1 |
führt, die vollkommen mit dem Experimenten übereinstimmt.
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