Die Schrödingergleichung

Es ist grundsätzlich unmöglich, fundamentale Prinzipien in Form von Grundgleichungen, wie die bald folgende Schrödinger-Gleichung, zwingend abzuleiten. Man kann (und muss) versuchen, durch heuristische Gedankengänge den Sachverhalt (spielerisch) zu erfassen und dann die Lösungsvielfalt der „erdachten“ Gleichung mit den experimentellen Fakten (die nachprüfbar, sprich wiederholbar sein müssen) zu vergleichen. Eine solche Herleitung der Schrödingergleichung gibt's hier.

Danach ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ über eine partielle Differentialgleichung gegeben, die für zeitunabhängige Vorgänge in einer Dimension x die folgende Form annimmt:

zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

dabei ist V(x) das Potential in dem Sich das Teilchen bewegt. Wenn wir den Ausdruck mit der partiellen Ableitung gleich  setzen, was genau der kinetischen Energie entspricht, dann sehen wir, dass die Gleichung die Energieerhaltung widerspiegelt. Wenn man noch E durch   ersetzt, dann erhält man die

zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Eine Erweiterung auf drei Dimensionen (x,y,z) erhält man sofort, indem man den -Term durch ersetzt. Erwin Schrödinger hat übrigens als erstes diese Gleichung für das Wasserstoffatom (also als dreidimensionales Problem) gelöst, was natürlich wie ein Paukenschlag die Wissenschaftlergemeinschaft traf, denn alle beobachteten Phänomene konnten plötzlich quantitativ exakt erfasst werden. Alle experimentellen Überprüfungen zeigen, dass in der nichtrelativistischen Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung voll gültig ist. Da in der Chemie immer alle molekularen Prozesse deutlich kleiner als mit der Lichtgeschwindigkeit ablaufen, ist die Schrödinger-Gleichung für den Chemiker die Fackel der Wahrheit, die etwas Licht in das finstere Reich der Begegnung zwischen Atomen oder Molekülen bringt.

Die Wellenfunktion ψ hat, dies sei noch einmal zur Erinnerung erwähnt, keine direkte physikalische Bedeutung, wenn auch mit ihrer Hilfe der Ablauf von Vorgängen im Mikrokosmos beschrieben werden kann. Da wir davon ausgehen können, das Teilchen irgendwo im Raum zu finden, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür 1 ist, muss die Normierungsbedingung gelten:
 

Der Ausdruck |ψ(x,y,z)|²dxdydz gibt die Wahrscheinlichkeit P(x,y,z) an, das Teilchen am Ort (x,y,z) im Volumenelement dV = dxdydz zu finden. P(x,y,z) hat im Gegensatz zu ψ(x,y,z) eine direkte physikalische Bedeutung, da die Wahrscheinlichkeit gemessen werden kann.

Weitere Anforderungen an ψ:

1. Da in der Schrödinger-Gleichung die zweite Ableitung vorkommt, muss diese existieren, d.h. ψ muss stetig sein und
2. , d.h. die erste Ableitung muss ebenfalls stetig sein, solange sich das Potential "vernünftig" verhält. (z.B. geht auch das ¹/_r-Potential bei r = 0)
3. Ferner muss aufgrund einfacher physikalischer Überlegungen gelten, dass ψeindeutigund nie unendlich sein darf (|ψ|²dxdydz) < ∞).

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