Die Erweiterung unseres Modells auf ein Teilchen innerhalb eines dreidimensionalen Potentialkastens mit den Begrenzungen 0 < x < a, 0 < y < b und 0 < z < c, führt zu den Energiezuständen:
wobei n1, n2 und n3 die Quantenzustände für die x-, y- bzw. z-Richtung sind (ni = 1,2,3,...). Die Wellenfunktion ψ(x,y,z) = ψx(x)· ψy(y)· ψz(z) ist dann:
Falls die Begrenzungen des Kastens alle gleich lang sind, d.h. a = b = c, entsteht eine besondere und für unsere weiteren Überlegungen wichtige Situation, denn nun können wir für unterschiedliche Quantenzahlen gleiche Energiewerte erhalten:
Wir haben in der letzten Gleichung h²/(8ma²) durch E1 abgekürzt. Alle Kombinationen n1, n2 und n3, die den gleichen Wert für K ergeben, haben die gleiche Energie. Allerdings sind die entsprechenden Wellenfunktionen für diese Kombinationen unterschiedlich. Wir sagen dazu (etwas unpräzise) das Energieniveau ist entartet. Der Grad der Entartung, gekennzeichnet durch die Größe g, entspricht der Zahl von unabhängigen Wellenfunktion, die zur gleichen Energie führen. So erhalten wir z.B. für die ersten sechs Energieniveaus:
| Energie | Kombinationen (n1, n2, n3) | Entartung g |
| 3 E1 | (1, 1, 1) | 1 |
| 6 E1 | (2, 1, 1), (1, 2, 1) (1, 1, 2) | 3 |
| 9 E1 | (2, 2, 1) (2, 1, 2) (1, 2, 2) | 3 |
| 11 E1 | (3, 1, 1) (1, 3, 1) (1, 1, 3) | 3 |
| 12 E1 | (2, 2, 2) | 1 |
| 14 E1 | (1, 2, 3) (1, 3, 2) ( 2, 3, 1) (2, 1, 3) ( 3, 1, 2) (3, 2, 1) | 6 |
Die Entartung der Energieniveaus kann immer durch Symmetriebetrachtungen erläutert werden. So ist in der folgenden Abbildung die Wellenfunktion für ein Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten aufgezeichnet.
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Für (n1 = 2; n2 = 1 und n1 = 1; n2 = 2) ist das Energienieveau zweifach entartet. Eine Rotation um 90° überführt die beiden Wellenfunktionen ψ21 und ψ12 ineinander.
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| Abb.1: Wellenfunktionen eines Teilchens in einem 2-dimensionalen Kasten und ihre Darstellung als Konturdiagramme. |
Die Wellenfunktion ψ21 und ψ12 sind antisymmetrisch (d.h. sie wechseln ihr Vorzeichen) bezüglich einer Spiegelung an der x-Achse (z.B. ψ21) bzw. an der y-Achse (ψ12). Ein weiteres Merkmal der Wellenfunktion ψn1,n2stellt die Parität dar. Kriterium hierfür ist die Beibehaltung oder Umkehrung des Vorzeichens bei Punktspiegelung oder Inversion. Eine Wellenfunktion ψ ist von gerader Parität, wenn gilt ψ(x,y,z) = ψ(-x,-y,-z) und von ungerader Parität, wenn gilt ψ(x,y,z) = −ψ(-x,-y,-z). So ist die oben dargestellte Wellenfunktion &psi2,2 von gerader Parität und antisymmetrisch bezüglich der x- und der y-Achse als Spiegelachsen.
Erinnerung:
Je häufiger die
Wellenfunktion ihr Vorzeichen wechselt, um so größer ist die
Energie des betreffenden Zustandes.
Die Quantelung und der Energiezustände und deren Entartung ist auch für die Thermodynamik von Bedeutung. Im nächsten Abschnitt wollen wir die Verbindung zwischen der Anzahl möglicher Zustände und der kinetischen Energie der Translation herleiten.
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