Die Rotation - Eigenfunktionen

Der Operator für das Quadrat des Drehimpulses = Lx² + Ly² + Lz² lautet in Polarkoordinaten:

 

= - h²/sinJ/¶J(sinJ/¶J) + 1/sin²JLz²

Und dies sind die Komponenten Lx, Ly, Lz in Polarkoordinaten:

Lx  =  −h/i{sinj/¶J + cotJ cosj/¶j}

Ly  =  h/i{cosj/¶J-cotJsinj/¶j}

Lz  =  h/i{/¶j}

  Wir suchen nun die Eigenfunktionen zu:

L² Yl,m  =  l (l + 1)h² Yl,m

Lz Yl,m  =  m h Yl,m

Die Eigenfunktion für den Bahndrehimpuls bzgl. der z-Komponente:

Lz Yl,m(J,j)  =  h/iYl,m(J,j)/¶j  =  m h Yl,m(J,j)

enthalten nur Ableitungen nach j, so dass wir formal schreiben können:

Yl,m(J,j)  = P(J) · φ(j)
nur Fkt. von J ­  ­ nur Fkt. von j

Die Lösung φ(j)  =  C eimj lässt sich leicht durch Einsetzen in die DGL  h/i¶f/¶j = mh φ  verifizieren. Die Normierung liefert uns den Wert für C:

C : Normierungskonstante { oòC e-imj C eimj  =  1 
oò C² dj = 1 →  C = 1/(2π)½

Da j von 0 bis 2π geht, verlangen wir wegen der Eindeutigkeit:

Yl,m(J,j)  =  Yl,m(J,j+2π)  Þ  f(j) = φ(j +2π):

C eimj  =  C eim(j+2p)

Dies gilt nur für ganzzahliges m:

m  =  0, ±1, ±2, ... ±l
f(j)  =  1/(2π)½ eimj

Die Komponente Lz kann nicht größer als der Drehimpulses L sein, daher ist der maximal mögliche Wert von m = ±l.
Danach gibt es also zu einem Drehimpuls l insgesamt 2l+1 Einstellmöglichkeiten bezgl. einer Achse. Da die Rotationsenergie nur die Quantenzahl l nicht aber m enthält, ist das l. Energieniveau (2l+1)-fach entartet.

Die Funktionen bzgl. J fehlen uns noch. Für m = 0 heißen sie Legendresche Polynome; für m ¹ 0 zugeordnete Legendresche Polynome (Plm (cosJ)). Die gesamte Funktion Yl,m(J,j) heißt Kugelflächenfunktion.

Mit Hilfe unserer Operatoren L+ ,L können wir die Funktionen bzgl. J relativ leicht berechen. Hier zunächst die Polarkoordinatendarstellung für diese beiden Operatoren:

L  = −h e−ij[/¶J- i cotJ/¶j]

L+  =  h eij[/¶J + i cotJ /¶j]

Aus der Bedingung LYl,m = 0 bestimmen wir für mmin = −l die Kugelflächenfunkion Yl,-l durch Einsetzen der entsprechenden Operatoren:

LYl,-l = −h e−ij[/¶J- i cotJ/¶j]Pl,-l e-ilj/(2π)½  =   −h/(2π)½ e−ij e−ilj[/¶J- l cotJ]Pl,-l  =  0

∂P(J)/¶J   =  l · cotJ· P(J)

Lösung:  Pl,-l(J)  =  C · (sinJ)l

C ist wiederum eine Normierungskonstante.

Wenden wir nun L+ konsekutiv auf Yl,m an,

L+Yl,m  =  ei(m+1)j [/¶J- m cotJ] Pl,m

ei(m+1)j  ºfm+1

dann können nacheinander die Drehimpulseigenfunktionen Pl,−l+1, Pl,−l+2, ... Pl,l konstruiert werden. Die Normierungskonstanten erhalten wir durch Integration über das entsprechende ("Winkel") Volumen dΩ:
 

oò oòp |Yl,m|² sinJ dJ dj   =  1
j ­ J ­ |¾¾¯¾¾|
       dΩ

Die Ergebnisse sind im Kapitel Die Rotation und der Drehimpuls² zusammengefaßt und die normierten Kugelflächenfunktionen sind dort für l = 0, 1, 2, 3, 4 dargestellt.



Wer das Programm Mathematica zur Verfügung hat, kann sehr einfach alle (unnormierten) Legendre Polynome berechnen und in Polarkoordinatendarstellung wiedergeben. Für l=4 ist das nachfolgende Beispiel für die erste Eingabe gegeben. Natürlich kann auch mit einem anderen Wert für l begonnen werden:

l=3;
m=-l;
P=Sin[t]^l ;

Der nächste Eingabeblock für Mathematica:

{l,m,P}
ParametricPlot[{Abs[P]*Sin[t], Abs[P]*Cos[t]},{t,0,2*Pi},PlotRange -> All,AspectRatio -> Automatic]
P=Simplify[D[P,t]-m*Cot[t]*P]/4;
m=m+1;

bewirkt  die Ausgabe für {l, m, Pl,m) und die entsprechende Darstellung der Funktion P. Jedes erneute Aufrufen des 2. Blockes gibt die nächsten Legendre Polynome mit m -> m+1 wieder (Die Division durch 4 dient lediglich der Wertebegrenzung).


Es folgt ein Matematica Programm, mit dem die unnormierten Kugelflächenfunktionen in Polarkoordinatendarstellung als 3D-Plot gezeichnet werden koennen, wobei eine positive und negative Linearkombination bzgl. j gewählt wurde, um nur reelle Funktionen zu erhalten: cos mj = (e+i|m|j - e-i|m|j)/2 ; sin mj = (e+i|m|j - e-i|m|j)/2i .  Zunächst der 1. Eingabeblock für l = 3. Natürlich kann der Wert von l verändert werden. Große l-Werte verlangen aber Geduld.

l=3; m=-l;
Y=Sin[t]^l;

Der nächste Eingabeblock für Mathematica:

ma=Abs[m]; Y1=Abs[Y*Cos[ma*f]]; Y2=Abs[Y*Sin[ma*f]];
{l,ma,Y1,Y2}
ParametricPlot3D[{Y1*Sin[t]*Cos[f],Y1*Sin[t]*Sin[f],Y1*Cos[t]},{t,0,Pi},{f,0,2*Pi},PlotRange ->All,AspectRatio ->Automatic, PlotPoints ->10*l+10]
ParametricPlot3D[{Y2*Sin[t]*Cos[f],Y2*Sin[t]*Sin[f],Y2*Cos[t]},{t,0,Pi},{f,0,2*Pi},PlotRange ->All,AspectRatio ->Automatic, PlotPoints ->10*l+10]
Y=Simplify[D[Y,t]-m*Cot[t]*Y]/4;
m=m+1;

bewirkt  die Ausgabe für {l, |m|, Yl,±m) und die entsprechende Darstellung der Funktion Y, wobei bei |m| = l begonnen wird. Jedes erneute Aufrufen des 2. Blockes gibt die nächste Funktion mitt m -> m+1 wieder (Die Division durch 4 dient wiederum der Wertebegrenzung). Die Zahl der PlotPoints bestimmt die Schnelligkeit deutlich.

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