Die Rotation -
Eigenfunktionen
Der Operator für das Quadrat des Drehimpulses L² = Lx² + Ly² + Lz² lautet in Polarkoordinaten:
L² = -
|
Und dies sind die Komponenten Lx, Ly, Lz in Polarkoordinaten:
Lx = − Ly = Lz = |
Wir suchen nun die Eigenfunktionen zu:
L² Yl,m
= l (l + 1) Lz Yl,m
= m |
Die Eigenfunktion für den Bahndrehimpuls bzgl. der z-Komponente:
Lz Yl,m(J,j)
= h/i∂Yl,m(J,j)/¶j
= m h Yl,m(J,j)
enthalten nur Ableitungen nach j, so dass wir formal schreiben können:
Yl,m(J,j) = | P(J) | · | φ(j) |
nur Fkt. von J | nur Fkt. von j |
Die Lösung φ(j) =
C eimj lässt sich leicht durch Einsetzen
in die DGL h/i¶f/¶j = mh φ
verifizieren. Die Normierung liefert uns den Wert für C:
C : Normierungskonstante | { | oò2πC e-imj C eimj = 1 |
oò2π C² dj = 1 → C = 1/(2π)½ |
Da j von 0 bis 2π geht, verlangen wir wegen der Eindeutigkeit:
Yl,m(J,j) = Yl,m(J,j+2π) Þ f(j) = φ(j +2π):
C eimj = C eim(j+2p)
Dies gilt nur für ganzzahliges m:
m = 0, ±1, ±2, ... ±l |
f(j) = 1/(2π)½ eimj |
Die Komponente Lz kann nicht größer als der Drehimpulses
L sein, daher ist der maximal mögliche Wert von m = ±l.
Danach gibt es also zu einem Drehimpuls l insgesamt 2l+1
Einstellmöglichkeiten bezgl. einer Achse. Da die Rotationsenergie
nur die Quantenzahl l nicht aber m enthält, ist das
l.
Energieniveau
(2l+1)-fach entartet.
Die Funktionen bzgl. J fehlen uns noch. Für m = 0 heißen sie Legendresche Polynome; für m ¹ 0 zugeordnete Legendresche Polynome (Plm (cosJ)). Die gesamte Funktion Yl,m(J,j) heißt Kugelflächenfunktion.
Mit Hilfe unserer Operatoren L+ ,L− können wir die Funktionen bzgl. J relativ leicht berechen. Hier zunächst die Polarkoordinatendarstellung für diese beiden Operatoren:
L−
= − L+
= |
Aus der Bedingung L−Yl,m = 0 bestimmen wir für mmin = −l die Kugelflächenfunkion Yl,-l durch Einsetzen der entsprechenden Operatoren:
L−Yl,-l
= −h e−ij[∂/¶J-
i cotJ¶/¶j]Pl,-l e-ilj/(2π)½
= −h/(2π)½ e−ij
e−ilj[∂/¶J-
l cotJ]Pl,-l
= 0
∂P(J)/¶J = l · cotJ· P(J)
Lösung: Pl,-l(J) = C · (sinJ)l
C ist wiederum eine Normierungskonstante.
Wenden wir nun L+ konsekutiv auf Yl,m an,
L+Yl,m = ei(m+1)j [∂/¶J- m cotJ] Pl,m
ei(m+1)j ºfm+1
dann können nacheinander die Drehimpulseigenfunktionen Pl,−l+1,
Pl,−l+2, ... Pl,l
konstruiert werden. Die Normierungskonstanten erhalten wir durch Integration
über das entsprechende ("Winkel") Volumen dΩ:
oò2π | oòp | |Yl,m|² | sinJ dJ dj | = 1 |
j | J | |¾¾¯¾¾| | ||
dΩ |
Die Ergebnisse sind im Kapitel Die Rotation
und der Drehimpuls² zusammengefaßt und die normierten Kugelflächenfunktionen
sind dort für l = 0, 1, 2, 3, 4 dargestellt.
Wer das Programm Mathematica zur Verfügung hat, kann sehr einfach
alle (unnormierten) Legendre Polynome berechnen und in Polarkoordinatendarstellung
wiedergeben. Für l=4 ist das nachfolgende Beispiel für
die erste Eingabe gegeben. Natürlich kann auch mit einem anderen Wert
für l begonnen werden:
l=3;
m=-l;
P=Sin[t]^l ;
Der nächste Eingabeblock für Mathematica:
{l,m,P}
ParametricPlot[{Abs[P]*Sin[t],
Abs[P]*Cos[t]},{t,0,2*Pi},PlotRange -> All,AspectRatio -> Automatic]
P=Simplify[D[P,t]-m*Cot[t]*P]/4;
m=m+1;
bewirkt die Ausgabe für {l, m, Pl,m) und die entsprechende Darstellung der Funktion P. Jedes erneute Aufrufen des 2. Blockes gibt die nächsten Legendre Polynome mit m -> m+1 wieder (Die Division durch 4 dient lediglich der Wertebegrenzung).
Es folgt ein Matematica Programm, mit dem die unnormierten Kugelflächenfunktionen
in Polarkoordinatendarstellung als 3D-Plot gezeichnet werden koennen, wobei
eine positive und negative Linearkombination bzgl. j
gewählt
wurde, um nur reelle Funktionen zu erhalten: cos mj
= (e+i|m|j
- e-i|m|j)/2
; sin mj = (e+i|m|j
-
e-i|m|j)/2i . Zunächst
der 1. Eingabeblock für l = 3. Natürlich kann der Wert
von l verändert werden. Große l-Werte verlangen
aber Geduld.
l=3; m=-l;
Y=Sin[t]^l;
Der nächste Eingabeblock für Mathematica:
ma=Abs[m]; Y1=Abs[Y*Cos[ma*f]];
Y2=Abs[Y*Sin[ma*f]];
{l,ma,Y1,Y2}
ParametricPlot3D[{Y1*Sin[t]*Cos[f],Y1*Sin[t]*Sin[f],Y1*Cos[t]},{t,0,Pi},{f,0,2*Pi},PlotRange
->All,AspectRatio ->Automatic, PlotPoints ->10*l+10]
ParametricPlot3D[{Y2*Sin[t]*Cos[f],Y2*Sin[t]*Sin[f],Y2*Cos[t]},{t,0,Pi},{f,0,2*Pi},PlotRange
->All,AspectRatio ->Automatic, PlotPoints ->10*l+10]
Y=Simplify[D[Y,t]-m*Cot[t]*Y]/4;
m=m+1;
bewirkt die Ausgabe für {l, |m|, Yl,±m) und die entsprechende Darstellung der Funktion Y, wobei bei |m| = l begonnen wird. Jedes erneute Aufrufen des 2. Blockes gibt die nächste Funktion mitt m -> m+1 wieder (Die Division durch 4 dient wiederum der Wertebegrenzung). Die Zahl der PlotPoints bestimmt die Schnelligkeit deutlich.
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