Herleitung des Energieverteilungsgesetzes


Wir gehen von den folgenden Voraussetzungen aus:
P(E) = P(E1+E2),

Wir nehmen an, dass die Teilchen unabhängig voneinander sind, d.h. es gilt analog zur Herleitung der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung:

P(E) = P(E1+E2)  =  p(E1) · p(E2).

Nur die Exponentialfunktion erfüllt diese Gleichung, was nun gezeigt werden soll:

∂P/∂E1 = (dP/dE1) · p(E2)  =  (dP/dE) · (dE/dE1) = dP/dE

(da dE/dE1  =  1)

Division durch P(E) ergibt:
(1/P(E))·(dP/dE)  =  (1/p(E1))·(dp/dE1)

 Entsprechend erhält man durch Differenzieren nach E2

(1/P(E))·(dP/dE)  =  (1/p(E2))·(dp/dE2)

Da die jeweils rechte Seite der beiden obigen Gleichungen nur von E1 bzw. E2 abhängt, muss gelten

1/p(E1) · (dp/dE1)  =  β  =  1/P(E2) · (dp/dE2),

wobei β eine Konstante ist. Dies führt auf die Gleichung

dP/P  =  β· dE

Integration ergibt (c ist eine Integrationskonstante):

ln P  =  βE + c     oder     P  ~  eβE

Die Konstante β = -1/kT kennen wir bereits aus der kinetischen Gastheorie. Damit kennen wir P(E).
Und weiter geht's.....

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