Symmetrie

Einen Operator $\hat R$ der mit dem Hamiltonoperator $\hat H$des jeweiligen Systems vertauscht, d.h.

$$[\hat R, \hat H]:= \hat R \hat H - \hat H \hat R = 0$$ (129)

nennt man Symmetrieoperator. Wichtige Symmetrieoperatoren sind Drehungen (C_n), Spiegelungen ($\sigma$), die Inversion (i) und die Drehimpulsoperatoren (L², L_z) für räumlichen und Spin-Drehimpuls. Da der (nicht-relativistische) Hamilton-Operator $\hat H$ den Spin nicht enthält, vertauscht er stets mit den Spin-Operatoren $\hat S^2$ und $\hat S_z$.

Wir wollen nun zeigen, daß ein Matrixelement

$$M_{ij} := \langle i\vert\hat O\vert j\rangle$$ (130)

stets verschwindet, wenn $\vert i\rangle$ und $\vert j\rangle$ Eigenfunktionen eines beliebigen hermiteschen Operators $\hat R$ sind, der mit $\hat O$ kommutiert und die beiden Eigenwerte $\lambda_i$, $\lambda_j$ verschieden sind. Beweis:

$$M_{ij}\lambda_j \langle i\vert\hat O\vert j\rangle \lambda_j = \langle i\vert\hat... ...\vert\hat R \hat O\vert j\rangle = \lambda_i \langle i\vert\hat O\vert j\rangle$$ =

$$M_{ij} \lambda_i$$ = (131)

Gilt nun $\lambda_i\neq\lambda_j$ dann folgt zwangsläufig M_ij=0, was zu beweisen war $\rule{7pt}{7pt}$

Für den Hamilton-Operator folgt damit, daß bei Vorhandensein von Symmetrie, seine Matrixdarstellung blockdiagonal ist. Durch die Ausnutzung dieser Eigenschaft läßt sich zum einen (zum Teil erheblich) Rechenzeit sparen, zum anderen wird die Dimensionalität des Problems reduziert und damit die Stabilität des verwendeten Algorithmus erhöht.

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