Strahlung eines schwarzen Körpers

Praktische Ausführung eines schwarzen Strahlers: Jeder Körper verliert Energie durch Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung. Je höher die Temperatur ist, um so kurzwelliger ist die Strahlung: Die Sonne sendet aufgrund ihrer hohen Temperatur Licht im sichtbaren Spektralbereich aus. Ein heißer "Kanonenofen" leuchtet von dunkelrot über hellrot und gelb bis weiß, je höher seine Temperatur ist. Auch wenn der Ofen nicht so extrem heiß ist, spüren wir das abgestrahlte Licht, z.B. eines heißwasserdurchströmten Heizkörpers, in Form von Wärmestrahlung. Die Gesetze für die spektrale Intensitätsverteilung der Temperaturstrahlung versuchte man um die Jahrhundertwende zu bestimmen.

Die Vorstellung dabei war, dass das Licht von Oszillatoren abgestrahlt wird. Ein Oszillator hat bei der Temperatur T im Mittel die Energie <E> = kT. Die Energiedichte der Strahlung, u(ν)dν, ist im Frequenzintervall [ν, ν+dν] gleich der Anzahl der Oszillatoren pro Volumeneinheit in diesem Bereich, dN(ν), multipliziert mit kT:

u(ν)dν  = <E> dN(ν)  =  kT dN(ν)


  u(ν)dν  =  Strahlungsenergie im Bereich [ν,ν+dv]/Volumen 

dN(ν) wurde von Rayleigh und Jeans berechnet:  dN(ν) = 8pn²/c³ dν
 

 u(ν)  =  8pn²/c³ kT  Im IR ist das Rayleigh-Jeans-Gesetz 
experimentell bestätigt !

Da u(ν) mit ν2 wächst, führt dies zur „Ultraviolett-Katastrophe“, da danach mit zunehmender Frequenz immer mehr Energie abgestrahlt werden sollte. Ein Blick in den dunklen Hörsaal zeigt, dass dieser nicht im UV leuchtet, d.h. das Energieverteilungsgesetz ist (zumindest im UV) falsch.

1900 machte Max Planck  die zur damaligen Zeit völlig willkürliche Annahme, dass die Energie nicht kontinuierlich sondern in kleinen Portionen (Energie-Quanten) abgestrahlt wird: Ein Elektron muss entweder ein Quant mit der Energie hν oder gar nichts ausstrahlen, wobei h eine Proportionalitätskonstante ist. Es können natürlich viele Quanten des Betrages hν ausgestrahlt werden, aber es kann nicht ein Gesamtbetrag von beispielsweise 3/2hν oder 1,7754hν vom Elektron ausgestrahlt werden.
Für die spektrale Energiedichte u(ν)dν = <E> · dN(ν) im Frequenzintervall [ν, ν+dν] erhielt Planck (Herleitung) dann:
 

<E> dN
u(ν)dν  = 
hν/e+hν/kT− 1
.  8pn²/c³ dν
u(ν)  =  8πhν³/c³.1/ehν/kT− 1

Diese Strahlungsformel für den schwarzen Körper stimmt vollkommen mit dem Experiment überein. Aufgrund des zugrunde liegenden Postulats der Existenz kleinster aber endlich großer Quanten der Energie wurde aber ein scharfer Bruch mit der klassischen Theorie vollzogen.

(Hier ein Excel-File von P. Atkins zum Spielen). Aus dem Maximum der Verteilung (Differenzieren nach ν und Nullsetzen) kann im Experiment die Größe h bestimmt werden:

 νmax = 2,8214 kT/h

   h = 6,626176·10-34 Js 

Integration der Planckschen Gleichung liefert das Strahlungsgesetz von Stefan und Boltzmann:
 

   o∫∞ u(ν)dn  =  U(T)  =  aT4
(a = 7,56·10-16 Jm-3K-4)

Die Intensität (abgestrahlte Energie pro Fläche und Zeit) ist   I = 1/4 c · a · T4
 

I = σoT4 [W/m²]
    so ≈  5,6697 · 10-8 [Wm-2K-4] 

Die abgestrahlte Energie steigt also mit der 4. Potenz der (absoluten) Temperatur T.

Wegen der Feinheit des Maßstabs ist h früher nicht aufgefallen. Hierzu zwei Zahlenbeispiele:

  1. Ein Sandkorn der Masse m = 10-6 kg fällt um die Höhe H. Wie groß ist H, damit die Energie gerade der Energie eines Quants des sichtbaren Lichts (νsichtbar≈  5 . 1014 Hz  einer Na-Lampe) ist?

    2. m · g · H  =  h    v   ®   H  =  hν/mg  =  3,38 · 10-14 m.  Dies entspricht ungefähr einem zehntausendstel Atomdurchmesser!
     
  2. Wie viele Quanten sendet eine Lampe mit P = 10 W Lichtleistung aus:

    3. P  =  E/t  =  nh    ν/t  ®  n/t  =  P/hν≈  3 · 1019  Quanten/s .
    Man merkt bestimmt nicht, wenn mal ein Quant fehlt, denn dann nimmt die Leistung nur in der 19. Stelle hinter dem Komma ab.




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