Stationarisierung eines Funktionals

Um zu einer optimalen Wellenfunktion $\psi$ zu gelangen, kann man versuchen, einen geeigneten Ansatz $\psi$ für eine Wellenfunktion auszuwählen, und diesen so zu optimieren, daß der Rayleigh-Quotient (27) minimal wird.

  

Abbildung: Analytische Funktion in der Nähe eines Minimums

Betrachten wir zur Illustration das Verhalten einer analytischen Funktion in der Nähe eines Minimums (siehe Fig. 2.1.2). Am Minimum x₀ hat die Funktion den Wert f(x₀). Wir wollen das Verhalten der Funktion an einer beliebigen Stelle x bei einer, nicht notwendigerweise kleinen Verschiebung (``Variation'') $\delta x$untersuchen und entwickeln dazu die Funktion dort in eine Taylor-Reihe

$$f(x+\delta x) = f(x) + {df\over dx} \,\delta x + {1\over 2!}{d^2f\over dx^2}\,(\delta x)^2 + \ldots$$ (32)

Wir definieren nun die Variation der Funktion f, $\delta f$ als

$$\delta f \;:=\; f(x_0+\delta x) - f(x_0) \;=\; \delta_1 f + \delta_2 f + \ldots$$ (33)

mit

$$\delta_1 f := {df\over dx} \,\delta x, \quad \delta_2 f := {1\over 2!}{d^2f\over dx^2}\,(\delta x)^2, \quad \ldots$$ (34)

Wir erkennen (siehe Fig. 2.1.2), daß die erste Ableitung f' der Funktion f am Minimum x₀ verschwindet, d.h. eine notwendige Bedingung dafür, das f minimal wird ist, daß dort $\delta_1 f$, die Variation von f in erster Ordnung von $\delta x$ verschwindet.

Diese Bedingung läßt sich unmittelbar auf Funktionen mehrere Variablen und auf Funktionale erweitern. Die notwendige Bedingung dafür, daß ein Funktional $F[\psi]$ minimal wird, ist die Stationarität bezüglich einer beliebigen Variation $\delta\psi$

$$\delta_1 F[\psi,\delta\psi] \stackrel{!}{=} 0$$ (35)

wobei $\delta_1 F$ derjenige Anteil der Variation $\delta F$ ist, der bezüglich $\delta\psi$ von erster Ordnung ist.

  

Abbildung 4: Globales Verhalten einer analytischen Funktion

Das die Stationaritätsbedingung (35) auch für andere Fälle, als für das globale Minimum erfüllt sein kann, wird in Fig. 4 illustriert. Hier ist 1 das globale Minimum, 2 ein lokales Maximum, 3 ein höheres lokales Minimum und 4 kein Extremum sondern ein Umkehrpunkt. Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher und bei Funktionalen können außerdem noch sogenannte ``Sattelpunkte'' auftreten, d.h. die Funktion ist an dieser Stelle lokal minimal in der einen, und lokal maximal in der anderen Richtung, d.h. der Funktionsverlauf ähnelt einem Sattel.

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