Beispiel: Rayleigh-Quotient ohne weitere Näherung

Als Beispiel für die Anwendung der Variationsrechnung wollen wir den Rayleigh-Quotienten (27) ohne weitere Näherung stationarisieren. Der Einfachheit halber fordern wir als Nebenbedingung, daß die Wellenfunktion $\psi$ auf eins normiert ist und schreiben dies als

$$1 - \langle\psi\vert\psi\rangle \stackrel{!}{=} 0$$ (36)

Gemäß der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren versehen wir die Nebenbedingung mit einem noch näher zu bestimmenden Faktor E und addieren sie zum Rayleigh-Quotienten

$$G[\psi] := \langle\psi\vert\hat H\vert\psi\rangle + E\big( 1 - \langle\psi\vert\psi\rangle \big)$$ (37)

Das Funktional G muß nun unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung (36) stationarisiert werden. Gemäß den Ausführungen in Abschnitt 2.1.2 können wir die Variation von G in erster Ordnung bezüglich $\delta\psi$, also $\delta_1 G$, sofort angeben und gemäß Gln. (35) erhalten wir die Bedingung

$$\delta_1 G[\psi] = \langle\delta\psi\vert\hat H\vert\psi\ra... ...e + \langle\psi\vert\delta\psi\rangle \big) \stackrel{!}{=} 0$$ (38)

Diese Gleichung soll für beliebige Variationen $\delta\psi$ erfüllt sein. Das kann aber nach dem sogenannten ``Fundamentalsatz der Variationsrechnung'' nur dann der Fall sein, wenn gilt

$$\hat H\psi = E\psi$$ (39)

bzw. wegen der Unabhängigkeit von $\delta\psi$ und $(\delta\psi)^\ast$, die zu (39) konjugiert komplexe Gleichung. Die Integrodifferentialgleichung (38) wird damit zur Eigenwertgleichung (39) und wir erhalten als Ergebnis unserer Rechnung die Aussage, daß der Rayleigh-Quotient (27) für die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators stationär ist.

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