Die Dirac'sche Bracket-Notation

Nach Dirac schreibt man eine Wellenfunktion f als sogenannten ``Ket-Vektor''

$$f \;\widehat=\; \vert f\rangle$$ (109)

Die dazugehörende konjugiert komplexe Funktion $f^\ast$ wird zum ``Bra-Vektor''

$$f^\ast \;\widehat=\; \langle f\vert$$ (110)

Treffen ein Bra- und ein Ket-Vektor aufeinander, so wird daraus (mit etwas Gewalt) ein ``Bracket'' (engl.: Klammer) und es wird über die Koordinaten integriert

$$\int f^\ast \!g\, d\mathbf{r}\;\widehat=\; \langle f\vert g\rangle$$ (111)

Insbesondere schreibt man die Matrixelemente eines Operators $\hat O$ als

$$\int f^\ast \hat O g\, d\mathbf{r}\;\widehat=\; \langle f\ver... ... \; \left( \;\widehat=\; \langle f\vert\hat O g\rangle \right)$$ (112)

Der senkrechte Strich auf der rechten Seite des Operator ist optional.

Für Fortgeschrittene:     Man nennt Gln. (111) auch ``Hermite'sche Form.'' Häufig findet man dafür auch die Schreibweise (f,g). Die Bezeichnung (Zustands-)Vektor für eine Wellenfunktion impliziert einen Isomorphismus ( $\Psi\leftrightarrow \mathbf{c}$) auf einen Vektorraum. Der Übergang zwischen beiden Darstellungen erfolgt sehr elegant durch die Zerlegung der Identität

$$1 = \sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$$ (113)

wobei die $\{\psi_k\}$ eine ortho-normale Basis zum jeweiligen Definitionsbereich der verwendeten Operatoren sind. Ein beliebiger Operator $\hat O$ wird dann zu

$$\hat O = \left( \sum_k \vert k\rangle\langle k\vert \right) \... ... l\vert \;=\; \sum_{k,l} \vert k\rangle O_{kl} \langle l\vert$$ (114)

D.h. ein Operator $\hat O$ wird zu einer Matrix O. Weitere Einzelheiten findet man in einschlägigen Lehrbüchern der linearen Algebra, z.B. bei Kowalski [11].

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