Beweis des Variationstheorems

Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß unsere genäherte Wellenfunktion $\psi$ auf 1 normiert ist, d.h. daß $\langle\psi\vert\psi\rangle=1$ gilt. Wir wollen nun zeigen, daß

$$F[\psi] := \langle\psi\vert\hat H\vert\psi\rangle \geq E_0$$ (115)

Zu diesem Zweck entwickeln wir $\psi$ in die exakten, auf Eins normierten Lösungen $\Psi_k$ der Schrödinger-Gleichung (26)

$$\psi = \sum_k c_k \Psi_k$$ (116)

(die Entwicklungskoeffizienten sind gegeben als $c_k\!=\!\langle\Psi_k\vert\psi\rangle$) und setzen diesen Ausdruck in den Rayleigh-Quotienten (27) ein

$$F[\psi] = \sum_{k,l} c^\ast_l\, c_k \,\langle\Psi_l\vert\hat H\vert\Psi_k\rangle$$ (117)

Wegen $\hat H\Psi_k\!=\!E_k\Psi_k$ ergibt sich weiter

$$F[\psi] = \sum_{k,l} c^\ast_l\, c_k \,E_k\,\langle\Psi_l\vert\Psi_k\rangle$$ (118)

Man kann sich nun überlegen, daß verschiedene Lösungen der Schrödinger-Gleichung orthogonal zueinander sind, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören und bei gleichen Eigenwerten, d.h. bei Entartungen, orthogonal gewählt werden können und wir erhalten unter Berücksichtigung von $c^\ast c= \vert c\vert^2$

$$F[\psi] = \sum_k \vert c_k\vert^2 \,E_k$$ (119)

Wir überlegen uns nun, daß

$$\langle\psi\vert\psi\rangle = \sum_{k,l} c_l^\ast\,c_k\,\langle\Psi_l\vert\Psi_k\rangle = \sum_k \vert c_k\vert^2 = 1$$ (120)

und ziehen auf beiden Seiten E₀ ab

$$F[\psi] - E_0 \sum_k \vert c_k\vert^2 \,E_k - E_0$$ =

$$\sum_k \vert c_k\vert^2 \,E_k - \sum_k \vert c_k\vert^2 \,E_0$$ =

$$\sum_k \underbrace{\vert c_k\vert^2}_{\geq 0} \,\underbrace{(E_k - E_0)}_{\geq 0} \geq 0$$ = (121)

Ist $\psi$ die exakte Lösung, dann verschwinden alle c_k mit k>0, ansonsten ergeben sich ausschließlich nicht-negative Summanden. Somit folgt unmittelbar

$$F[\psi] \;\geq\; E_0$$ (122)

was zu beweisen war $\rule{7pt}{7pt}$

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