Das Wasserstoffatom

Allgemein ist das Couloumb-Potential eines Elektrons im Feld einer Kernladung Z · e durch V(r) = −Ze²/(4peor) gegeben, wobei r den Abstand vom Kern misst (für das Wasserstoffatom gilt Z = 1, für He+ ist Z = 2, für Li++ ist Z=3, etc.). Die Schrödingergleichung für ein Elektron im Zentralfeld V(r) eines Kerns lautet
 

(−h²/2µΔ + V(r)) y  =  E y
(1)

wobei µ die reduzierte Masse des Systems Kern-Elektron darstellt, d.h. µ = mEmK/(mE+mK), mit mE als Masse des Elektrons und mK als Masse des Kerns. Wir wollen jetzt die möglichen Lösungen für y und die dazugehörige Energie E suchen, um die Zustände, in denen sich das gebundene Elektron z.B. im Wasserstoff-Atom befinden kann, zu ermitteln. Da es sich hier um ein kugelsymmetrisches Problem handelt, verwenden wir zur Lösung der obigen Gleichung Polarkoordinaten. Vom Übergang zu den Polarkoordinaten ist in der Gleichung nur Δ betroffen, da das Potential V(r) schon in Polarkoordinaten angegeben ist:

Δ  =  ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²

=  1/r² ∂/∂r(r² ∂/∂r) −1/r²h²L²

wobei der Operator  L²(J,j) der Drehimpulsoperator zum Quadrat (L² = Lx²+ Ly²+ Lz²) in Polarkoordinatendarstellung ist und nur von den Winkeln, nicht aber von r abhängt. Die Schrödingergleichung für das Elektron im Zentralfeld lautet also in Polarkoordinaten:

−h²/2µ.1/r²./r·(r² /ry) + V(r) y + 1/2µr²·L²(J,j) y  =  E y

L² = - h² [1/sinJ/¶J(sinJ/¶J) + 1/sin²J²/¶j²]

Wie beim Teilchen im dreidimensionalen Kasten wählen wir einen Separationsansatz: y(r,J,j) = R(r)·Y(J,j), da der Drehimpulsoperator zum Quadrat L²(J,j) nur von den Winkeln, aber nicht von r abhängt.  Einsetzen von y = R·Y in die Schrödinger-Gleichung für das Elektron im Zentralfeld und anschließender Division durch R·Y ergibt:
 

 1/R(r) [−h²/2µ.1/r²./r(r² /r) + V(r)] R(r) + 1/2µr².1/YL²Y  =  E 
   (4)

Die Eigenwerte und -funktionen für L² berechnen wir in den Kapiteln über den Drehimpuls (Berechnung der Eigenwerte des Drehimpulses, die Rotationsenergie, die Eigenfunktionen des Drehimpulses), dabei zeigt sich, dass die Eigenwerte bezüglich L² durch h² l(l+1) gegeben sind, d.h. wir erhalten für den Radialanteil die DGL:
 

[−h²/2µ.1/r²./r(r² /r) + V(r) + h²l(l+1)/2µr²] R(r)  =  E · R(r)    (5)

Auf die Lösung dieser DGL kommen wir später noch zurück.

Im nächsten Kapitel werden wir die Wellenfunktionen Y(J,j) und die Eigenwerte für die Drehimpulse näher erläutert.

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